MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS
100. DÉFINITION. Lorsqu'on cherche à déterminer, d'après certaines conditions, un polynôme ordonné par rapport à une lettre donnée, la méthode la plus simple et la plus naturelle consiste à écrire ce polynôme, en laissant indéterminés ses coefficients et quelquefois son degré. On exprime ensuite qu'il salisfait aux conditions proposées; et Ton obtient ainsi des équations, dans lesquelles ces coefficients et ce degré entrent comme autant d'inconnues, dont elles font connaître la valeur.
Nous allons appliquer cette méthode à la division des polynômes et à l'extraction de leurs racines.
§ I. Division des polynômes.
101. Cas où la division doit se faire exactement. Soit à diviser un polynôme , de degré m ,
Aoo;- + Aïo?»"-^ + k,x^-' +.... + A^,
par un polynôme, de degré n,
B.x*' + B,x^-' + Bsa?"-^ + . . . . 4- Bn .
Il faut que le quotient, multiplié par le diviseur, reproduise identiquement le dividende. Or, si l'on désigne par a le degré du quotient, celui du produit sera (n + a) : on devra, par conséquent, avoir :
m = n + a, ou a = m — n.
Connaissant ainsi le degré du quotient, et, par suite, le nombre de ses coefficients égal à (a-f 1), on pourra, en désignant chacun d'eux par une lettre particulière, effectuer le produit du quotient par le diviseur. Ce produit , étant du degré m , sera composé de (w -|- 1) termes : en les égalant aux termes correspondants du dividende, on obtiendra (w-(-l) équations du premier degré entre les (m — n -|- 1) coefficients inconnus. Il suf-
(ira» pour les déterminer, de résoudre (m — n+l) équations; les n autres devront être satisfaites d'elles-mêmes, et seront des équations de condition.
102. Cas où la division laisse un reste. Si l'on veut appliquer la méthode des coefficients indéterminés à la recherche du quotient et du reste, dans le cas où la division n'est pas possible, la question doit être posée de la manière suivante :
Trouver un polynôme^ qui^ multiplié par le diviseur, donne un produit, dont la différence avec le dividende soit de degré moindre que le diviseur.
On devra, dans ce cas, égaler seulement, aux termes correspondants du dividende, les termes de ce produit dont le degré n'est pas inférieur au degré n du diviseur : on obtiendra ainsi (m — n + 1) équations (les mêmes que si l'on cherchait un quotient exact), qui permettront de déterminer tous les coefficients du quotient. La différence, entre le dividende et le produit du diviseur par le quotient, sera le reste.
105. Calcul des coefficients du quotient. Les {m — n + l) équations, qui déterminent le quotient, offrent une forme re* marquable, qui rend leur résolution très-facile. Soit, en effet,
le quotient inconnu. En multipliant ce quotient par le diviseur, on a évidemment :
Bfi,x"^ + (BiCo + BoCi) x^-' + (BsCg + B,G, + Bfi,) x^'+,.,. -f(B,Co + B.,Ci + ....BA-i + BoC,)a^«-* + ....
Et, en égalant les coefficients de ce produit à ceux du dividende, on a :
BoCo=^Ao, BiCo+Boa = A,, B,Co+B,Ci + BoC, = A2,
B*Co-f-B,A+.... + BiCk-i-|-BoCfc=:.Ak..oe
La première équation ne contient donc que l'inconnue Gq\ Cq étant connu, la seconde permettra de calculer Ci, qui n'y entre qu'au premier degré; Co et Cj étant connus, la troisième
équation permettra de calculer C2 , qui n*y entre qu'au premier degré. En général, chaque équation renterme, au premier degré, une inconnue qui ne figurait pas dans les précédentes, et qu'elle permet de déterminer. Ainsi, G» figure, pour la première fois, dans le coefficient de a?"*-*; en sorte que les k premières équations ne renferment pas cette inconnue. Quant à la (/f+l)*"% elle renferme G* au premier degré.
104. Application. Appliquons la méthode précédente à un exemple. Soit à diviser
par x^-\-px-\-q.
Le quotient doit être du quatrième degré. Désignons-le par
a;* -f- niiX^ + m^x'^ + ^3^7 + m^ ;
En formant son produit par le diviseur, on obtient :
x^ + (p + Wi)^ + {Q +pmi + mi)x^-\- (qmi +pm2-\-mi)a^ + {qmi+prrh-{-m^)x*-{-{q'ïïh'^pmi)X']-qmt,.
En égalant les termes de ce produit, dont le degré surpasse Tunité, aux termes correspondants du dividende, on a, pour déterminer mi, ma , mj , m^ , les équations :
p-|-mi = Ai, ç + pmi + m2 = A2, çwi + pm2 + Wj = Aa, çm2+;?m3 + m4 = A*.
La première fera connaître mi; la seconde, mi étant connu, fera connaître Wa ; la troisième donnera ensuite m^ , et la quatrième m^ .
On verra, sans peine, que cette méthode conduit aux mêmes calculs, que la méthode exposée dans la première partie.
§ IL Extraction de la racine m"* d'un polynôme.
i05. MÉTHODE GÉNÉRALE. Soit le polynome :
Aorr" + kxx^' + A^x^-' + .... + Ap ;
désignons sa racine m*"* par
Boa;" + Bix"-* + B^a?"-» + .... + B„.
Il faut, par définition , que l'on ait identiquement :
(Boic" + Bia;"+' + B2a;"-«+ . . , . + B^)"» = Aoa:*'^- Aia^P-^ + A^x^^ + .... + Ap.
Pour que les deux membres soient de même degré, il faut que l'on ait :
p = mn.
Si donc p n'est pas un multiple de m , le problème est impossible. Si p est divisible par m, le degré de la racine sera
— : on connaîtra, par suite, le nombre (— + 1 ) de ses coefficients. On pourra élever cette racine à la puissance rrT' ; on formera ainsi un polynome du degré p. En égalant les (- + l) premiers termes aux termes correspondants du polynome donné, on obtiendra ( — + 1) équations, pour déterminer les coefficients inconnus. Les équations, qui expriment Tégalité des termes suivants, devront être satisfaites d'elles-mêmes, si le problème est possible : ce sont des équations de condition.
i06. Calcul DES coefficients de la racine. Les (— -(- 1 ) équa
tions, qui déterminent la racine, ont une forme remarquable, qui rend leur résolution très-facile. En effet, dans le développement de
(Boa;"-|-Bia;"-*-fB2a?»^-« + . .. . +6^0;"-*+. .. . -f B„)-,
OÙ n est égal à ~, le terme en x^ ne contient que B,*" ; le terme
en ^P-* contient Bo à la puissance [m — 1), et Bi au premier degré ; le terme en x^-^ contient Bo , Bi et B^ , et celte dernière inconnue n*y entre qu'au premier degré. En général, B* n'entre dans aucun terme dont le degré est supérieur à (p — A;); et il entre au premier degré dans le coefficient du terme en x^-^. Par conséquent, la première équation Bo"* = Ao fera connaître Bo par une extraction de racine : Bq étant connu, la seconde équation fera connaître Bi , qui n'y entre qu'au premier degré ; t^o et B^ étant connus, la troisième fera connaître Bj, qui n'y entre qu*au premier degré. Et, en général, la (/c + l)*"" équation déterminera Bt , qui n'y entre qu'au premier degré; car, dans le développement, il n*y a qu'un terme en x^~^, qui contienne B/t ; c'est le terme mBkX'^-\B^x'')'^--^,
Il sera facile d'appliquer, en particulier, cette méthode à l'extraction de la racine carrée d'un polynôme.
g in. Application à quelques problèmes.
107. Problème I. Déterminer y entre p ei q, la relation nêceS' saire pour que le trinôme
x^-\-px-\-q
soit divisible par le carré d'un binôme convenablement choisi (x — a)^.
Si (ic+ P) désigne le quotient de cette division, on aura :
x^ + px + q={x—uy{x + Ç>) = {x'' — 2oiX + oi,^)ix+^) = ^3 | (p __ 2 a) 0?^ + (a2— 2 ap) a; + a^p.
On en conclut, en identifiant les deux membres :
Remplaçant, dans les deux dernières équations, p par sa valeur 2a, tirée de la première, il vient :
a^— 4a2 = p, ou a = \ / — '^ , et 2oi^=q.
Éliminant enfin a entre ces deux équations , on a : ç=2^y--f), ou 4p» + 27 5=^ = 0.
Telle est la condition cherchée.
108. Problème IL Déterminer les coefficients m et n, de telle manière que Vexpression
ma;' — (2m*+3n)aj* + (m*+ 6mn)x — Sm^nr,
soit un cube parfait.
Il faut, pour cela, identifier l'expression avec le cube d'un binôme {ax-{-b), c'est-à-dire avec
a^x^+3a''bx^ + Sab^'x + b' :
ce qui fournit les équations :
m=a», — (2m^ + 3?i)=3a2&, m*+6mn=3a5S — 3m^^=6^
Les deux dernières donnent ;
.. m^-{-6mn m*-|- 6n
b = — uSm'^n^ a=~T;==f=r — ^ 3;- — =• ^ ' S\/9m''n^ 3v^9/nn*
a et 6 étant ainsi déterminés, les deux équations restantes sont des équations de condition. Si l'on y substitue à a et à 6 leurs valeurs , ces équations deviennent :
[21 -m^ I o^^3(m'^ + 6n)^3m^^^^(m«+6n)^^(7n»+6n)^ 9^81wV 3^27?!^ 971
Chassant le dénominateur de cette dernière, et réduisant, on a :
m* — 6nm*+9n^ = 0,
ou (m^ — 37i}' = 0.
On tire de là, pour valeur unique de n ,
roi m^ I
Celte valeur, substituée dans l'équation [1] , la rend identique. La condition demandée se réduit donc à la relation [3]. Et le polynôme proposé est alors, comme on s'en assure facilement, le cube de
RÉSUMÉ
100. La méthode des coefficients indéterminés s'applique aux questions dans lesquelles on veut déterminer un polynôme, d'après certaines conditions. — 101. Application de cette méthode à la théorie de la division, dans le cas où la division se fait exactement. — 102. Cas où Ton a à trouver le quotient et le reste. — 105. Toutes les équations que l'on a à résoudre, sont du premier degré à une inconnue. — 104. Application à un exemple. — lOS. Application de la méthode à la recherche de la racine m"" d'un polynôme. — 106. Les équations, que l'on a à résoudre, sont toutes du premier degré à une inconnue. — 107, 108. Application de la méthode des coefficients indéterminés à la solution de quelques problèmes.
EXERCICES
