DÉVELOPPEMENT D'uNE FONCTION ENTIÈRE f{x-\-h

SUIVANT LES PUISSANCES DE h. SI, daus uu polynomc, entier par

rapport à une lettre x, et que nous représenterons généralement par

f{x) = Aoa;'"+ Aia;"'-^ Aaa;"»-^ + .... + AnO;*^" + .... +A„,

on remplace x par a? + /^, le résultat de cette substitution est :

fix+h)=A,{x-j-hr+k,(x+hy^'+.,,.+kn{x+hr-^+,...^^^

. Si Ton développe chaque terme par la formule du binôme, et si Ton ordonne suivant les puissances ascendantes de h, cette expression devient :

+ A.nX'

/i+m(m— l)Aoir'»-»

+(w — n)[m—n—\)AnX'^'

j^+...+m(m-l}...2.1Aoj^^

Les termes indépendants de h, ceux auxquels se réduit l'expression pour h=0, forment, comme cela devait être, le polynôme proposé lui-même. Le coefficient de /i, polynôme du degré (m — 1) par rapport à a;, se nomme la dérivée du polynôme proposé; et, lorsque le polynôme est représenté par /"(a?), la dérivée est assez habituellement représentée par f'{x). Le coefficient de

- — -f polynôme du degré (m — 2), est la seconde dérivée du polynôme. On la désigne ]^a.rf(x). De même les coefficients de

T-TT^T.'.T— r , polynômes dont le degré est de moins en

moins élevé, sont la troisième, ...la m™" dérivée du polynôme,

et se représentent par /*'''(a?)..., /""(a?). D'après ces notations,

le développement s'écrira :

f{x+h)=fix)+kr{x)+j^r{x)

:nx)+...-{

Chacun des polynômes f (a?), f (x), f"{x) .

f^{x), se déduit

du précédent, d'après une même loi qui est fort simple. Si l'on examine, en effet, le polynôme

on reconnaît immédiatement qn*il faut, pour le former, diminuer d'une unité V exposant de chacun des termes de f (x), et multiplier le coefficient par l'exposant non encore diminué. L'inspection des polynômes f" {x),f"{x)y.,., montre que chacun se déduit du précédent suivant la même loi ; en sorte que f (x) est la dérivée de f (x), f" {x) celle de f'{x), et ainsi de suite. Et c'est pour cette raison, que f {x) est dite la seconde dérivée àe f (a?), que f" {x) est dite la troisième dérivée, et ainsi de suite.

Chaque dérivée est de degré moindre que la précédente; en sorte que la wr^ dérivée d'un polynôme, de degré m, est constante, et qu'il n'y en a pas de (m + 1)™*.

lil. Propriété de la dérivée d'une fonction entière. La définition, que nous avons donnée de la dérivée, ne s'apphque qu'aux polynômes entiers et rationnels; mais nous allons en déduire une propriété importante, que nous prendrons ensuite pour définition ; ce qui permettra d'étendre la notion de dérivée aux expressions d'une autre forme.

On a (ilO), en désignant par F {x) un polynôme entier par rapport à x :

f{x+h)=Y{x)+hr{x)+^^r{x) + . .. + 77^^ F-C^);

on en conclut :

^M4:zI(£)=r(.)+^r(.)+^P"'{.) + ...

Si, X restant fixe, on fait tendre h vers zéro, le second membre a évidemment pour limite F' {x) ; il doit, par suite, en être de même du premier; et l'on a, par conséquent :

résultat que l'on peut énoncer ainsi :

La dérivée d'un polynôme F (x) est la limite du rapport de VàC'

croissement F (x + h) — F(x) de ce polynôme à V accroissement h de la variable, lorsque ce dernier accroissement diminue de plus en plus.

112. Nouvelle définition de la dérivée. C'est la propriété précédente, qui sera dorénavant prise par nous pour définition. Nous dirons :

On nomme dérivée d'une fonction continue quelconque la limite, vers laquelle tend le rapport de r accroissement de cette fonction à r accroissement de la variable, quand ce dernier tend vers zéro. Celle définilion s'applique, d'après ce qui précède, aux fonctions entières : elle permet, en outre, d'étendre la notion de dérivée à une fonction quelconque.

On peut demander, si une fonction continue quelconque f{x) a une dérivée. Nous répondrons d'abord, qu'en fait, nous allons trouver, dans les paragraphes suivants, les dérivées des principales fonctions; ce qui démontrera leur existence à posteriori. Nous ajouterons, d'ailleurs, que la fonction étant continue, l'équation y = f{x) représente une courbe plane continue, rapportée à deux axes rectangulaires; et Ton démontre, en géométrie analytique, que la dérivée représente la tangente trigonométrique de l'angle que fait, avec l'axe Oo;, la tangente à la courbe au point (x, y). Comme, en chaque point, une courbe continue a une tangente bien déterminée, la fonclion admet une dérivée.

La dérivée d'une fonction est une nouvelle fonction qui admet elle-même une dérivée : c'est la dérivée seconde. La dérivée de celle-ci est la troisième dérivée; et ainsi de suite.

Nous commencerons par faire connaître les dérivées de deux fonctions très-simples, a" et log x.

$ II. Dérivées de a* et de log œ.

115. DÉRIVÉE DE a*'. La dérivée de a' est, par définition, la limite du rapport

Lorsque h tend vers zéro.

Or, on a évidemment :

-a^=ia«{a'' — 1).

Il faut donc,

pour

obtenir la dérivée, chercher la limite du

rapport

Posons :

Lorsque h est Irès-petil, a" diffère très-peu de l'unité (75) ; et, par suite, n est très-grand. Lorsque h tend vers zéro, n tend vers rinfiui. On déduit de cette relation :

n Prenant les logarithmes des deux membres, il vient :

/iloga=log^l + l),

log(l+J)

d'où h= — f ^.

loga

Le rapport devient, d'après cela :

n g^ log a

log(l+i)~nlog(l + i)

loga

Le numérateur ne contenant pas n, il suffit de chercher la limite du dénominateur. Or, on a :

«log(l+i)=log(l + i)".

n augmentant indéfiniment, ( l + -) tend vers e; et, par suite

log ( 1 + -) a, pour limite, log e; 1 expression — . ,

tend donc vers -î — ^: telle est donc la dérivée de a''. Ainsi : loge

On peut remarquer que la base du système, dans lequel sont pris les logarithmes, n*a pas été définie; mais le choix de cette

base n'a aucune influence sur le résultat; car le rapport ^^

^* loge

ne dépend pas (85) de la base du système considéré. Si Ton

suppose que les logarithmes sont pris dans le système népérien,

log e = 1 ; et la dérivée s'écrit :

[2] (a^)' = a*La.

Ainsi la dérivée de la fonction exponentielle s* obtient ^ en multipliant cette fonction par le logarithme népérien de la base.

Si Ton considère, en particulier, la fonction e*, Le = 1 ; et par suite la dérivée de e" est la fonction elle-même :

114. DÉRIVÉE DE LOG X. La dérivéc de log x est, par définition, la limite de Texpression

log(a? + ^) — log^ h '

lorsque h tend vers zéro.

Or, on a :

log(a; + ft)-Ioga;=log(^)=Iog(l +^)

Donc lofi- (x+h)'-\ogx__

h "^ Il '

Posons -= -, de telle sorte que, h tendant vers zéro, n tendre

vers 00 ; il viendra /i = - ; et l'expression, dont on cherche la limite, deviendra :

l^=..„log(n-j =-log (i + -) .

Or, on a vu (113), que, n tendant vers oo , log n +-) a

pour limite log e.La limite de - log (l + -) ^st donc -^^, qui

représente, par conséquent, la dérivée de log x, Ainsi

f^ ^, lo^e M

-W (iog^y=-^ = -,

en désignant par M le module du système dans lequel est pris le logarithme de x.

Si la fonction est le logarithme népérien de .r, M = 1 ; et, par suite, la dérivée de hx est :

Après avoir fait connaître les dérivées des deux fonctions trèssimples, log X et cf^, nous allons établir quelques règles générales, qui nous permettront d'obtenir les dérivées d'expressions plus composées.

§ III. Règles générales.

115. DÉRIVÉE d'une somme. Si u, V, IV, sont des fonctions de a?, dont les dérivées u' v' w' sont connues, la somme ■

aura pour dérivée la somme

En effet, si nous désignons, en général, Taccroissemenl d'une Alg. sp. B. 7

quantité par le signe A placé devant la lettre qui la représente, en attribuant à la variable a? un accroissement \x, les fonctions M, V, Wf prendront, respectivement, des accroissements Au, Aîj, Am;; et l'accroissement de la somme (w+v — w) sera évidemment :

le rapport de cet accroissement à l'accroissement Av de la variable, est donc :

Aw , Av Aiy,

Aa? ' ^x Ao?'

et il a, par conséquent, pour limite :

comme nous voulions le démontrer. On a donc :

116. DÉFINITION d'une FONCTION DE FONCTION. On uomme, en général, fonction explicite d'une variable le résultat d'opérations bi n définies, exécutées sur cette variable. Ainsi, par exemple:

a?"*, log v/ 1 +a;% log sin x, a*',

sont des fonctions de a;; le nombre des opérations successivement indiquées pouvant d'ailleurs être aussi grand qu'on le voudra.

Si l'on désigne par u une fonction quelconque de la variable x, et que l'on exécute des opérations sur la quantité u, considérée comme donnée, le résultat de ces opérations sera, d'après ce qui précède, une fonction de u; et, comme u. est elle-même une fonction de Xj ce résultat se trouve une fonction de fonction.

Il est bien entendu, qu'en remplaçante par son expression en X, on peut faire immédiatement, d'une fonction de fonction, une fonction ordinaire.

Exemples. 1° {x^f—x^

peut être considéré comme une fonction de fonction, le cube de 07% ou comme une fonction simple, a;^

2*» \oga' = x\oga

peut être considéré comme une fonction de fonction, le logarithme de la fonction à', ou comme la fonction simple du premier degré,a;loga.

Lors même que des réductions, analogues aux précédentes, ne s'effectuent pas, rien ne distingue essentiellement une fonction de fonction de celles qui dépendent directement de la variable principale.

117. DÉRIVÉE d'une fonction de fonction. D'après les définitions qui précèdent, si Ton désigne par u une fonction f (x) de la variable Xy et par w une fonction ^ {u) de la variable u, w sera une fonction de fonction définie par les équations :

Nous allons montrer que, si les fonctions cp et <^ sont de telle nature, qu'on sache prendre leurs dérivées par rapport à la variable dont elles dépendent immédiatement, on pourra former la dérivée de w par rapport à x.

Supposons, en effet, que l'on donne hxun accroissement Aa;, et qu'il en résulte : pour w, un accroissement Ait; pour t^, un accroissement à.w; on a identiquement :

Mo ^w Au

A;c Au*Aa?'

Or, Aa? tendant vers zéro, r— et r— ont, pour définition, nom

Aw Ao? ^

limites respectives, les dérivées de w et de u par rapport à x.

Quant à —, bien que u ne soit pas une variable indépendante ,

mais une fonction de a?, dont les variations dépendent de celles de X, cette expression a pour limite la dérivée de w par rapport à w; car rien, dans la définition de la dérivée d'une fonction, ne particularise la manière dont l'accroissement de la variable tend vers zéro. En désignant donc les dérivées de w par rapport kx et par. rapport à u par w' et par J/' (u), et celle de u par

rapport à x par «p' (a?), et en se rappelant que la limite d'un produit est égale au produit des limites, on a :

résultat que l'on peut énoncer de la manière suivante :

La dérivée d'une fonction de fonction est le produit des dérivées aes fonctions simples qui la composent, prises^ chacune, par rapport a a variable dont la fonction dépend immédiatement»