Exemples. 1° Considérons la fonction
c'est-à-dire, supposons que, dans la formule qui précède, on ait :
Pour former la dérivée de cette fonction de fonction , il faut, comme on l'a vu, prendre la dérivée de u^ par rapport à u, qui est 3m^ et la multiplier par la dérivée de x^ par rapport à x, c'est-à-dire par 2x', cette dérivée est donc Sii'xSa?, ou, en remplaçant u par sa valeur :
^x''X2x=ex^;
ce qui est précisément le résultat qu'on aurait obtenu (110), en remplaçant la fonction de fonction par la fonction simple x\ 2" Considérons encore la fonction
log a;^ c'est-à-dire, supposons :
u = x^; w=\ogu.
La dérivée de cette fonction de fonction est le produit de bx'%
dérivée de rr^ par -^^, dérivée de log u par rapport à u ; elle u
est égale, par conséquent, à
5a:* loge 5 log e ^
c'est précisément ce que Ton aurait trouvé, en remarquant que
log a;^=5 loga;;
car la dérivée de 5 log x est évidemment égale à cinq fois la dérivée de log X.
Les deux exemples précédents ont été choisis de manière à fournir un résultat qui fût connu à l'avance : mais on conçoit , que, dans un grand nombre de cas, la règledes forci inns de fonctions conduira à des résultats entièrement nouveaux , et qu'il serait difficile d'obtenir autrement.
Cherchons, par exemple, la dérivée de e*^ en posant •
On voit que la dérivée demandée est le produit de 2Xj dérivée de u par rapport à x^ et de e", dérivée de e" par rapport à u\ elle est, par conséquent, égale à
119. GÉNÉRALISATION. Ou pcut généraliser la règle des fonctions de fonctions, et l'étendre à des expressions qui dépendent de la variable x au moyen de plusieurs fonctions intermédiaires.
Posons, en effet :
et cherchons la dérivée de z par rapport à x. Soit Aaj un accroissement attribuée à a; ; et soient Aw, Av, S.io, A^, les accroissements qui en résultent pour u, v, lo, z; on a, identiquement :
A^ Ar Ali; Au Aw^
Aa? ^w' Au 'Aw'Aip'
et Ton voit que, si Ao? tend vers zéro, le premier membre a, pour limite, la dérivée de z par rapport à x, et les facteurs du second tendent vers les dérivées des fonctions z^ iv, v, u, par rapport aux variables dont elles dépendent immédiatement. On en conclut que la dérivée de z, par rapport àx, est encore le produit obtenu en multipliant les dérivées des diverses fonctions; z, w
V, u , prises chacune par rapport à la variable dont la fonction dépend immédiatement. Ainsi :
[8] z'=r{w)Xf'{v)X^'{u)y<^'{x).
120. DÉRIVÉE d'un produit. Soient u, v, to,.... des fonctions en. nombre quelconque, et z leur produit, dont on demande la .dérivée.
On a :' ' z = u,v.w..,.;
en prenant les logarithmes des deux membres, il vient :
logj2r = logw + logv + logw; +....;
et, si Ton prend les dérivées des deux membres, on a, en appliquant la règle des fonctions de fonctions (117), et en désignant par z\ u', v', w',..„ les dérivées de z, u,v, w...r,
log e log^^, log^^,^log e^^ ^^
d'où l'on déduit :
ou, en multipliant les deux membres par z ou par uvw..,.: [9] ■ z'=vw.,..u' ■\-uw.,.*v'-\-uv....w'+.,..
Ainsi, la dérivée d'un produit est la somme des produits obtenus en multipliant successivement la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres.
Si un facteur est constant, sa dérivée est nulle, et le terme correspondant manque dans la dérivée du produit. Ainsi la dérivée de A.U est Au'.
121. DÉRIVÉE d'un quotient. Soient w et v deux fonctions de œ, et z leur quotient, dont on demande la dérivée. On a :
En prenant les logarithmes, il vient :
log z = \ogu — iog V ;
et, si l'on prend les dérivées des deux membres, eette équation donne, en adoptant les mêmes notations que précédemment :
log e^,^ log 6^, ]o^ ^, u
d'où l'on déduit :
ou [10] Z' = 5 .
Ainsi la dérivée d'un quotient sobtient^ en multipliant le dénominateur par la dérivée du numérateur ^ puis le numérateur" par la dérivée du dénominateur, et en divisant la différence des produits par le carré du dénominateur.
122. DÉRIVÉE d'une puissance. Soient u une fonction de x, et m un exposant, entier ou fractionnaire^ positif ou négatif; désignons par z la puissance u"", et cherchons-en la aérivée ; on a:
En prenant les logarithmes, il vient :
]og z = m\ogu;
et si l'on prend les dérivées des deux membres, on aura, en adoptant toujours les mêmes notations :
d'où l'on déduit! z'=m-u';
ou [11] z = mu"'-^u\
Ainsi la dérivée d'une puissance d'une fonction s'obtient en muU tipliant la dérivée de la fonction par V exposant et par une puissance de la fonction prise avec un exposant inférieur d'une unité.
Remarque I. Dans le cas où m est entier, cette règle pourrait se déduire du théorème des fonctions de fonctions : car, u étant une fonction de x, w"* est une fonction de fonction ; et Ton a vu (110) que sa dérivée, par rapport à u, est mu"*"*.
Remarque II. Si, dans la formule précédente, on suppose u = x,on obtient la dérivée de a;"*, et l'on voit qu'elle est mx"^^ : celte dérivée s'exprime, par conséquent, par la môme formule, que lorsque m est entier.
Corollaire. Si z = \/uy on écrit :
et appliquant la règle précédente, on a
ou [12] ^'=-4-,
Ainsi la dérivée de la racine carrée d'une fonction s'obtient en divisant la dérivée de la fonction par le double du radical.
125. Dérivée de u"". Considérons enfin l'expression plus composée, dans laquelle l'exposant est lui-même fonction de la variable x ; et cherchons la dérivée de i^", u&iv désignant deux fonctions quelconques de x.
Posons : z = vy,
nous aurons, en prenant les logarithmes :
log ^ = -u log u ;
et, si nous prenons les dérivées des deux membres, en appliquant la règle donnée pour la dérivée d'un produit, il vient :
loff e , , , . v\o?^
— ^~ 2' = v' log uA
d'où l'oa déduit :
Exemple. Si ron pose v = x, u = x^ la fonction z devient rr,, et la dérivée est :
Vloge^ J
af
124. Applications des règles précédentes. Les règles précédentes permettent de former la dérivée d'une fonction algébrique donnée, quelque compliquée qu'elle soit; nous en donnerons quelques exemples.
1° Trouver la dérivée de la fonction, 7/= v/l + ^^'
On pose : 1 +a;* = w,
et ron trouve (117, 122) :
yjl+x'
20 Trouvée la dérivée de la fonction y ~
Nous pouvons considérer cette expression comme une frac-tion; et en appliquant la règle (121), on trouve :
, nx""-^ (1 -|- xY — ^3?^ ( 1 -\-xY^^ nx""-^
^ ~ (1-1- rc/'* ~{\+xY^''
On pourrait encore considérer la fraction proposée comme
la n'^»" puissance de r-p-, et appliquer la règle (122) ; on aurait
alors :
résultat conforme au précédent :
3® Trouver la dérivée de la fonction
, v/a;«— 1 — 1 y = log \ •
En posant : y/a;^ — l~i ^
on aura: y = logU,
et (118): i/'=Î5£i.u'.
Pour trouver U', il faut appliquer les règles (121, 122); on trouve :
,., yx^ — i yx' — 1
^x\oo; e et, par suite : y' =
4° Soit enfin y = e'hx, le logarithme étant pris dans le système de Neper ; on trouvera :
V'=e«(i+La>),
§ IV. Dérivées des fonctions circulaires.
125. DÉRIVÉE DE sin X, La dérivée de la fonction sin x est, par définition, la limite du rapport
sin {x-\-h) — sin a?
Or, on a, d'après les formules connues de la trigonométrie :
ûn{x+h) — sina;=2sin-cos fir+-).
Donc
sin(x+/,)-sin^ 2sin|cos(a,+^) sin g) h = h =-7M--«=<'H'' + 2J-
Maison sait que h devenant très-petit, le rapport du sinus à l'arc correspondant tend vers l'unité. D'ailleurs, cos f^+ô) s'approche indéfiniment de cos œ; et, par suite, l'expression précédente a pour limite cos x,
La dérivée de sin x est donc cos x.
[14] (sin 0;)' = cos 07.
