COMBINAISONS ET FORMULE DU BINOME

§ I. Des combinaisons.

50. Définitions. On nomme combinaisons, n à n, de m objets distincts, les différents groupes que l'on peut former avec n de CCS objets; il est utile d'en calculer le nombre.

La question peut être considérée sous deux points de vue, suivant que l'on regarde ou non, comme distincts, les groupes, qui, étant composés des mêmes objets, diffèrent seulement par l'ordre dans lequel on les place.

Dans le premier cas, les combinaisons reçoivent le nom d'arrangements ; et dans le second, celui de produits différents,

51. Nombre DES arrangements. Calculons, d'abord, le nombre des arrangements distincts de ra objets pris nkn. Désignons ce nombre par A„; et représentons par An-i celui des arrangements des mêmes objets, (n— 1) a (n — 1). Si tous les arrangements (n~l) à {n — 1) étaient formés, en plaçant successivement, à la suite de chacun d'eux, les [m — {n— 1)] objets qui n'y entrent pas, on formerait des arrangements w à n, dont le nombre serait

A„-i[w— (n— 1)], ou A„i(m— n-j-l);

car chaque arrangement (n — 1) à (n— 1) fournit, de cette manière, [m— (n—1)] arrangements n à ?i. Je dis que An-i[m— (?i— 1)] est précisément le nombre des arrangements n à n; et pour cela, il faut montrer qu'ils ont tous été formés, et que chacun d'eux ne l'a été qu'une seule fois.

1° On a obtenu tous les arrangements nhn', car on peut former tout arrangement de n obje-ts, en plaçant le dernier d'entre eux à la suite de l'arrangement formé par l'ensemble des (n— 1) autres.

2° Un même arrangement n'a pu être formé qu'une fois; car, les arrangements (n— 1) à (?z— 1) étant distincts, ainsi que les

(w— n+ 1) objets que l'on place à la suite de chacun d'eux, les groupes que l'on forme diffèrent, soit par les (n— 1) premiers objets, s'ils proviennent de deux arrangements (n— 1) à (n~ 1) différents; soit par le dernier, s'ils proviennent du môme arrangement (n— 1) à (n — 1).

On a donc la relation :

An=(m~n + l)An-i.

Cette relation étant démontrée pour une valeur quelconque den, on aura de même, en désignant par An-2, A„3.... A„ le nombre des arrangements (n— 2) à (n— 2),[(n — 3) à (n— 3),... un à un :

A„i = (m — n + 2)An-8,

An-2 = (m— n + 3) An-3,

Aa =(m— l)Ai.

Si Ton multiplie ces égalités membre à membre, les facteurs A„-.i, An-2,.... As disparaissent; et il vient, en remarquant que le nombre A^ des arrangements 1 à 1 est m ;

Ainsi, le nombre des arrangements de m objets distincts n an est égal au produit de n facteurs entiers, consécutifs^ décroissants, à partir de m.

52. Nombre des permutations. La formule précédente, si on y suppose n= m, fera connaître le nombre des arrangements de m lettres m km. Ces arrangements, dans lesquels figurent toutes les lettres, se nomment des permutations. En désignant leur nombre par P„„ on a :

puisque, pour m=n,{m — n+l) devient égal à l'unité.

Ainsi, le nombre des permutations de m objets distincts est égal au produit des m premiers nombres entiers.

55. Nombre des produits différents. Les produits différents de m objets, n à n, sont les groupes distincts que l'on peut former,

avec ces m objets, en regardant comme identiques ceux qui ne diffèrent que par l'ordre des objets. On réserve souvent à ces produits le nom de combinaisons.

Représentons par Cn le nombre de ces produits. Imaginons qu*on les considère tous ensemble, et que l'on forme les permutations des n objets contenus dans chacun d'eux ; les groupes, ainsi formés, seront des arrangements de m objets donnés n à n. Or, je dis qu'ils y seront tous, et chacun une seule fois.

1<> Ils y seront tous ; car les objets qui forment un arrangement, étant considérés indépendamment de leur ordre, composent l'un des produits différents ; et, lorsque l'on permutera de toutes les manières les objets qui composent ce produit, l'un des groupes ainsi formés sera l'arrangement considéré.

2'» Chaque arrangement sera formé une seule fois; car les arrangements, qui proviennent d'un même produit, diffèrent par l'ordre des objets ; et ceux qui proviennent de deux produits différents, ne sont pas composés des mêmes objets.

On peut donc obtenir toute la série des arrangements, en permutant les produits différents, de toutes les manières possibles. Or, chaque produit fournit ainsi 1 .2.3....?z arrangements distincts; le nombre total des arrangements An est donc égal au nombre des produits Cn, multiplié par 1.2.3....n; et l'on a, par conséquent :

An = Cn.l.2.3....n:

d'où, en remplaçant An par sa valeur [1 ] :

K\n%\ le nombre des produits différents de m objets , n à n, est égal au produit de n nombres entiers ^ consécutifs, décroissants à partir de m, divisé par le produit des n premiers nombres entiers.

54. Remarque I. La formule précédente peut se mettre sous une forme, que l'on trouve quelquefois plus commode. Si l'on multiplie, en effet, par 1.2.3.... (m — n) les deux termes de la fraction qui représente C„, elle devient :

en sorte que , au numérateur se trouve le produit des nombres entiers depuis 1 jusqu'à r?i, et au dénominateur le produit des nombres entiers depuis 1 jusqu'à (?n — n), et le produit des nombres entiers de 1 à n.

Remarque II. La formule [4] reste évidemment la môme, si l'on change n en (m — n) ; cette substitution aura seulement pour effet de cbanger, l'un dans l'autre , les facteurs 1.2.... n, et 1.2.... (m — n) du dénominateur.

Le nombre des produits différents de m objets n à n, est, par conséquent ^ le même que celui de m objets (m — n) à (m — n).

L'égalité de ces deux nombres est, d'ailleurs, évidente, à priori. Si en effet, dans m objets, on prend un groupe de n, il restera un groupe de (m — n) : les groupes ou produits n à n et (m — n) à (m — n) se correspondent donc deux à deux, et sont, par conséquent, en môme nombre.

53. Remarque Ilf. Le nombre des produits différents de m objets n à n est égal à la somme des nombres de produits différents de (m — 1) objets n an, etde{m— l) objets {n— l)à (n— 1). Cînpeut, en effet, partager les produits différents de m objets n à n en deux groupes, l'un composé des produits qui ne contiennent pas un certain objet, et l'autre composé de ceux qui le renferment. Or les premiers sont évidemment tous les produits différents des (m — 1) autres objets n à n ; et si, dans les autres, on supprime l'objet dont il s'agit, ils deviennent les produits des (m — 1) autres objets (n — 1) à (n — 1).

On vérifie, d'ailleurs, directement ce théorème à i aide ae la formule [3].

56. Remarque IV. Le nombre Gn est nécessairement entier • la formulé [3] prouve donc que le produit de n nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

§ II. Formule du binôme de Newton.

57. Produits de n binômes qui diffèrent par le second terme. Nous avons vu (I, 42), que le produit d'un nombre quel conque de polynômes est la somme de tous les produits que l'on

peut former, en prenant pour facteur un terme de chacun d'eux.

Appliquons celte règle à la formation du produit de m binômes, ayant môme premier terme,

ix+a){x + b){x+c)...,{x + l).

Si nous ordonnons ce produit suivant les puissa nces décroissantes de Xf il est évident que le premier terme se ra a?*", produit formé en prenant, comme facteurs, les m premiers termes des binômes.

Le terme en a?*"-^ se comp osera des produits dans lesquels on prendra, comme facteurs, les premiers termes de (m— 1} binômes, avec le dernier terme du binôme restant ; et le coefficient de a?"*-* sera, par conséquent, la somme des seconds termes de nos binômes.

Le terme en x"^"^ se composera des pro duits dans lesquels on prendra, comme facteurs, les premiers termes de (w — 2) binômes et les derniers termes des deux binômes restants. Le coefficient de x"^^ sera, par conséquent, la somme des produits deux à deux des seconds termes.

On verra de même que le coefficient de o;"^' est la somme des produits trois à trois des seconds termes; et qu*en général, le coefticient de a?"*-" est la somme de leurs produits nkn.

On écrit souvent ce résultat de la manière suivante :

= x"'+x'^-'I,a+af^^lKib+x'^-'Iabc-{'....

-f ic"*-"2a6c. . . .p + . . . . a6c. . . ./c^ ;

en représentant par 2a, 2a5, 2a6c.... la somme des seconds termes, la somme de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc.

38. Formule du binôme. Pour déduire de ce qui précède Texpression de (oî-t-a^)*', il suffit de supposer a = b = c = ,.„ = l; le développement se simplifie alors notablem ent.

Le premier terme reste égal à a?*".

Le coefficient de a?"*-^ égal à la somme des seconds termes, devient égal à ma

Le coefficient de aj'^^ égal à la somme des produits deux à deux des seconds termes, devient égal à a* multiplié parle nombre de ces produits, c'est-à-dire (55) à

rn^m— 1) 2 ""'

Le coefficient de a?*^', égal à la somme des produits trois à trois des seconds termes, devient égal à à? multiplié par le nombre de ces produits, c'est-à-dire à

En général, le coefficient de x"^-^, qui est la somme des produits p à p des seconds termes, devient égal à a^ multiplié par le nombre de ces produits, c'est-à-dire à

On a donc, enfin :

^ , , m [m — 1) „ ^ „ , [2] (a;-}- a)"* = a;"' + maa;*"-* -| ^2 — ^ «^ + •—

. mim — l)....(m — p4-l) „ « „ , , ^

C'est la formule du binôme de Newton.

59. Remarque L On voit que, dans le dévelopement de (ic-f a)*", l'exposant de œ va en diminuant d'une unité depuis m jusqu'à zéro, et celui de a va en augmentant d'une unité de puis 0 jusqu'à m; de sorte que, dans chaque terme, la somme des deux exposants est constante et égale à m. Le nombre des termes du développement est {m-{- 1).

On nomme terme général^ celui qui en a n avant lui; en le désignant par Tn, on a :

ro m(m-l)(m-2)....(m-n+l)

40. Remarque II. Si l'on désigne par T„i le terme qui précède T„, on trouve aisément :

Or (m — n-f- 1) est l'exposant de x dans T„i, et n est le nombre qui marque le rang de ce terme. Donc, pour passer du terme de rang n, au terme de rang (n -\- 1), on multiplie son coefficient par rexposant de x dans ce terme^ et on le divise par le nombre qui marque son rang, puis on augmente d'une unité l'exposant de a, et on diminue d'une unité celui de x.

41. Remarque III. Le coefficient de a^x"^-^ est le nombre des produils différents de m lettres p k p; et celui de a^^-^x est le nombre des produits différents de m lettres (m — p) à (m — p). Or ces nombres sont égaux (54). Donc, dans le développement de

x + a)"*, les coefficients des termes^ situés à égale distance des extrêmes sont égaux.