DÉRIVÉE DE arc sin rr. Posons

2/ = arc sin a;;

et cherchons la dérivée de y par rapport à x, que nous désignerons par y'.

De l'équation y = arc sin x,

on déduit : . 3? = sin y;

en prenant la dérivée des deux membres par rapport à x, et appliquant, pour le second, la règle des fonctions de fonctions, on trouve :

. l = cosi/Xl/';

donc :

cosy

Mais sin y étant égal à x, cos y est égal à ±V 1 — a;^; et l'on a, par conséquent :

La dérivée de arc sin x est donc

154. Remarque. Il peut sembler extraordinaire que la dérivée cherchée ait un signe indéterminé. Mais on remarquera que le signe du dénominateur est celui de cost/; or, à un même sinus a; correspondent des arcs en nombre infini, dont les uns ont un cosinus positif, et les autres un cosinus négatif; ce sont ces divers arcs qui ont des dérivées différentes; chacun d'eux, bien entendu, ne peut en avoir qu'une seule. Lors donc que l'on prendra la dérivée de l'arc dont le sinus est x, on devra indi-

110 LIVHE II.

quer le quadrant, dans lequel se termine l'arc dont il s'agit; et l'on prendra le signe +, si l'arc se termine dans le premier ou dans le quatrième quadrant, et le signe —, s'il se termine dans le second ou dans le troisième.