Dérivée de arc cos x. Si l'on pose

y = arc cos a?,

on en déduit : x = Q,o?>y',

et, en prenant les dérivées des deux membres,

-1 = — sinî/X^; d'où l'on déduit :

La dérivée arc cos x est donc

Dans ce cas, le dénominateur est la valeur de sin y, c'est-àdire du sinus de Tare dont on cherche la dérivée. On devra donc le prendre avec le signe +, si l'arc se termine dans le premier ou dans le second quadrant; et avec le signe ^—, si l'arc se termine dans le troisième ou dans le quatrième.

136. On peut remarquer que, d'après ce qui précède, les deux fonctions arc sin x et arc cos x ont des dérivées égales, ou égales et de signes contraires; on s'explique facilement qu'il doit en être ainsi, en remarquant que, si y désigne un arc dont

le sinus soit a?,-— y et 2/ — ^auront a; pour cosinus. On a donc, - — arc sm a? = arc COS 07,

et arc sin a? — - = arc cos x.

On voit, d'après cela, que, suivant la valeur adoptée pour l'arc dont le cosinus est a?, sa dérivée sera égale à celle de arc sin Xy ou égale et de signe contraire.