DÉRIVÉE DE arc tang x. Posons

î/ = arc tango;; on en déduit :' x = tang y ;

et, en prenant les dérivées des deux membres,

donc:

cos' y '

[22] y'=zcos*y

La dérivée de arc tang x est donc

l-f-tang^y 1+ic*

On voit que la fonction arc tang x n'a qu'une seule dérivée. Il existe cependant un nombre infini d'arcs qui correspondent à une tangente donnée; mais, si l'on désigne l'un d'eux par y, tous les autres sont compris dans la formule

niz + y;

chacun d'eux a, par conséquent, même dérivée que y.

138. Tableau des dérivées. Gomme il est nécessaire de connaître les formules fondamentales du calcul des dérivées, nous les avons toutes réunies dans le tableau suivant :

\°y = ax + h,

ry=f{x)±^{x),

y''-=nxMx)-\-f{x).^'{x).

--îi.

y'=zmx'"-'.

y'=a'La.

8" y=:Lx,

9° y=\ogx,

y'=\loQe.

10° y=sm X,

y'=cosx.

11° |/ = COS Xj

y'=—sin X.

12° i/=tangir,

13° i/=cotanga;,

-^ ■ sin^a;

14° t/ = séc a;,

,.sina;

cos^a;*

15° t/=coséca;, 16" î/ = arc sina:, 17° ?/ = arc COS x,

•^ siii^a;' V'- ^

-^ Vl-a;'*

18° î/=arctarig .r,

19° î/ = arc cota-,

20° y = arcséca;,

xy/x^-r

21° t/=arc cosécrc,

22° t/=]ogsina;,

î/'=cotanga;.

23° l/ = log COS a;,

î/' = — tang a;.

24°y=logtanga;,

siiia;.cosa;*

25°?y = Iogtangja:, î/'=-^.

Dans les dérivées de arc sin x et de arc coséc x, le radical a le signe de cos y\ dans celles de arc cos x et de arc séc x^ il a le signe du sinus.

RÉSUMÉ

109. Définitions.— HO. Développement d'une fonction entière f{x4-h): définition de la dérivée d'une telle fonction. — Hl. Cette dérivée est la limite vers laquelle tend le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, quand ce dernier tend vers zéro. — ■112. Cette propriété est prise pour la définition de la dérivée d'une fonction quelconque : dérivées successives. — 113. Dérivées de a*. de e'. — 114. Dérivées de log x, de Lx. — 1I>5. Dérivée d'une somme. — 116. Définition d'une fonction de fonction : exemples. — 117. Dérivée d'une fonction de fonction. — 118.Exemples.— 119. Extension à un cas plus général.— 120. Dérivée d'un produit.— 121. Dérivée d'un quotient. — 122. Dérivée d'une puissance; cas d'une racine carrée. — 123. Dérivée de w«, u et v étant deux fonctions de x. — 124. Application des règles précédentes. — 12o. Dérivée de sin a;.— 126. Dérivée de cos x. — 127. Dérivée de tang x.-~ 128. Dérivée de cotang X. — 129. Dérivée de séc x. — 130. Dérivée de coséc x. — 151. L'arc x est, dans ces calculs, mesuré par son rapport au rayon du cercle. — 152. Définition des fonctions inverses. — 133. Dérivée de arc sin x. — 134. Remarque sur le double signe de cette dérivée. — 15o. Dérivée de arc cos x. — 136. Ces deux dernières dérivées doivent être égales, ou égales et de signes contraires. — 157. Dérivée de arc tang o?. —138. Tableau des formules qui donnent la dérivée des fonctions les plus simples.