CHAPITRE IL

ÉTUDE DES FOACTIOXS A L'AIDE DES DERIVEES, RETOUR DES DÉRIVÉES AUX FONCTIONS.

§ I. Propriétés des dérivées.

159. DÉFINITION. On dit qu'une fonction f {x) est croissante^ lorsqu'un petit accroissement, donné à la variable x, fait prendre à la fonction une valeur plus grande : en d'autres termes, lorsque l'on a, pour de très-petites valeurs de h,

Une fonction est dite décroissante, lorsqu'un petit accroissement, attribué à la valeur x, fait prendre à la fonction une valeur plus petite : en d'autres termes, lorsque l'on a, pour de très-petites valeurs de h,

140. Condition pour qu'une fonction soit croissante ou DÉCROISSANTE. Puisquc la dérivée f (x) est la limite du rappoit

f(x+h)-nx)

h pas nul, mais très-petit, on a :

pour/z = o, il s'ensuit que, lorsque h est, non petit, on a :

£ étant une quantité inconnue, fonction de x et de h, qui est très-petite, en môme temps que h^ et qui tend vers zéro avec h. On tire de là :

f(x + h)-nx) = h\f'ix) + e\.

Or si f (x) n'est pas nul , on peut prendre h assez petit, pour que e soit, en valeur absolue, plus petit que /' (x) . Le signe de \f'{x)-{-e\ sera alors celui de f (x) ; et, comme h est positif, le signe de f {x) sera celui du premier membre. Donc, si la dérivée f ' (x) est positive, la fonction f (x) est crois-

santé; et si la dérivée est négative, la fonction est décroissante. Les réciproques sont évidemment vraies.

141. Condition commune au maximum et au minimum d'une FONCTION. Lorsque la variable de laquelle dépend une fonction, change d'une manière continue, la fonction elle-même varie d'une manière continue ; et le théorème précédent nous permet de trouver les valeurs de la variable, pour lesquelles la fonction est croissante ou décroissante.

Si la fonction considérée devient maximum pour une certaine valeur a de a?, elle est croissante lorsque x est plus petit que a, et décroissante, dès que x a dépassé cette limite. La dérivée, positive d'abord, négative ensuite, doit donc changer de signe, en passant du positif au négatif, lorsque x, croissant d'une manière continue, vient à atteindre et à dépasser a.

On verra de mêtne que si, pour a? = û^, la fonction considérée est minimum, la dérivée doit changer de signe, en passant du négatif au positif, lorsque Xy croissant d'une inanièfe continue, atteindra la valeur a.

On voit, par ce qui précède, que les valeurs de a?, qui rendent une fonction maximum ou minimum, sont celles pour lesquelles la dérivée de celte fonction vient à changer de signe. Et, comme une fonction continue ne peut changer de signe qu'en passant par la valeur zéro, intermédiaire entre les valeurs positives et négatives, il en résulte qu'une fonction, dont la dérivée est continue, ne devient maximum ou minimum que pour les valeurs de X qui annulent sa dérivée.

Mais la réciproque n'est pas exacte. Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut non-seulement que la dérivée s'annule; il faut encore qu'elle change de signe: et un grand nombre de fonctions peuvent passer par zéro sans changer de signe.

Nous conclurons de là que, pour trouver les maximums et minimums d'une fonction f{x)j on résout l'équation î' (x) = 0; on rejette les solutions pour lesquelles la dérivée ne change pas de signe. Quant à chacune de celles qui font changer de signe à la dérivée, elles correspondent à un maximum, lorsque la dérivée passe du positif au négatif, et à un minimum, dans le cas contraire.

On peut remarquer, en outre, que, s'il y a maximum, la dé-

rivée étant d'abord positive, puis nulle, et enfin négative, va constamment en diminuant : sa dérivée, c'est-à-dire la dérivée seconde f [x), doit donc être négative. Si, au contraire, il y a minimum, la dérivée, d'abord négative, puis nulle, puis positive, va en croissant : donc la dérivée seconde f{x) doit être positive. Les réciproques sont évidentes.

\iowc, pour qu'une valeur x==a, qui annule f (x), corresponde

à un maximum ou à un minimum, il suffit qu'elle^rende f"(x) négative ou positive.

§ 11. Étude de quelques fonctions.