ÉTUDE DE LA FONCTION X" , QUAND X VARIE DE 0 A oo

Commençons par chercher la valeur de cette fonction pour x = 0. Si l'on attribue immédiatement cette valeur à la variable, fonction prend la forme indéterminée 0% qui n'a aucun sens car, d'une part, toutes les puissances de 0 sont nulles; et, d'autre part, toute puissance, dont l'exposant est zéro, est égale à 1. Pour connaître la véritable valeur de x', c'est-à-dire la valeur vers laquelle converge x*, lorsque x diminue de plus en plus, posons :

en prenant les logarithmes des deux membres, il vient :

\ogy = x log X, Or, puisque x doit recevoir une valeur très-petite, posons-le égal à -, è étant très-grand ; on aura :

log2/=-log- = — -logif.

Or, il est évident qu'un nombre très-grand est beaucoup plus grand que son logarithme; (si, par exemple, les logarithmes sont pris dans le système dont la base est 10, le logarithme d'un nombre de 1000 chiffres a seulement 999 pour partie entière) :

-log za donc pour Umite 0; et, par suite, log y diminue indéfiniment : d'où Ton conclut que y tend vers l'unité.

Pour étudier les variations de x', à partir de la valeur 1, prenons la dérivée de cette fonction. On a (125), pour expression de cette dérivée,

le logarithme étant pris dans le système de Neper.

Si X est très -petit, cette dérivée est négative ; x" commence donc par décroître, et diminuera tant que l'on aura :

1 + La; < 0,

c'est-à-dire La;<— 1,

ou x<i-.

Poura? = -, la dérivée s'annule, et la fonction devient mini

mum ; x croissant à partir de la valeur -, la dérivée est toujours positive, et x' croît sans limite.

hx