Etude de la fonction î/ = — , le logarithme étant

PRIS DANS LE SYSTÈME DE Neper. Pour a? = 0, 011 a, évidemment, 1/=— 00 , La dérivée est :

, 1 — La;

Cette dérivée est positive, tant que x est plus petit que e; la fonction augmente donc sans cesse, lorsque x passe de la valeur 0 à la valeur e. La fonction passe alors de la valeur — oo à

la valeur -. Cette valeur - est son maximum ; et, la dérivée dee e

venant ensuite négative, la fonction diminue indéfiniment ; et

l'on voit sans peine qu'elle tend vers zéro, lorsque x augmente

sans limite.

144. Problème. On donne la somme x + y; trouver le maximum ou le minimum de x"* + y"*.

Remarquons d'abord que, la somme a? + |/ étant donnée, y est une fonction de x, et que, par conséquent, x'^ + y"' est

THÉORIE DES DÉHIVÉES. 121

aussi fonction de x; on peut, par conséquent, lui appliquer le tliéorènie démontré plus haut (141).

Posons : w + y = 2a,

Il faut cliercher la dérivée de u, et l'égaler à 0; or, on a videmment :

D'ailleurs, l'équation x-\-y = 2a,

donne: i-]-y'=zO;

donc: y' = — 1;

et, par suite, u'=mx"^^ — my'^K

La condition u' = 0,

revient donc à a;"»-^ = y»"-»,

et exige, par conséquent, que l'on ait x = y^ et, par suite, x = a.

Pour savoir s'il y a maximum ou minimum, il faut chercher (141) si, lorsque a?, en croissant, passe par la valeur a, la dérivée, en changeant de signe, devient négative ou positive. Or, en supposant m plus grand que 1, pour x plus petit que a, {mx""-^ — wî/"*-*) est négatif; et, pour a; plus grand que a, cette différence est positive : donc il y a minimum. La conclusion serait opposée, si {m — 1) était négatif.

14o. Problème. Chercher les valeurs maxima et minima de r expression.

Cherchons d'ahord la dérivée y' de y; on a, d'après la règle donnée (121) :

, (2x—b){x''-{-x-{-l)—('2x-\-\)(x''—bx + 6)e>x-—l0x—\] ^~" {x'-]-x-^iy ~ (x'-jrx+^f

Le dénominateur de y' étant positif, le signe de cette dérivée

122 LIVRE lî.

sera celui de (6a;^— 10a; — 11). Or, ce trinôme êSt négatif, quand ic est compris entre les racines de réqualioii

et il est positif dans le cas contraire. Les dent racines de l'équation [l] sont:

cest-à-dire, [ ^, ^^^23^3 ^^^^^^|

les valeurs correspondantes de y sont :

c'est-à-dire, [ ^'~ ^^'

On voit que la fonction y^ qui ne devient pas infinie, puisque (a?^ + a;+l)ne peut être nul, et qui est par conséquent continue, est croissante, lorsque x varie de — oo à a;'; elle décroît ensuite, lorsque x varie de x' à x'\ pour augmenter indéfini» ment, quand x augmente à partir de la valeur x". Elle atteint son maximAim pour x = x'y et son minimum pour x — x'\

On voit, d'ailleurs, que, pour des valeurs très-grandes de Xj la fonction diffère peu de l'unité; car, en remplaçant, pour de telles valeurs, le numérateur et le dénominateur par leurs premiers termes, qui sont égaux, l'erreur relative commise sur l'un et sur l'autre, et par suite, sur le quotient, est évidemment très-petite.

En résumé, la marche de la fonction est indiquée par le ta* bleau suivant ;

X=zx' = -

. maximum,

., rhininaiim ,

140. Cas où la fonction devient discontinue. Les fonctions considérées précédemment sont continues, et les tliéorèmes démontrés (140, 141) s'y appliquent sans difficulté. Mais il n'en est pas toujours ainsi ; et il faut alors avoir soin d'examiner à part les valeurs de la variable, pour lesquelles la fonction change brusquement de valeur. La considération de la dérivée ne suffit plus alors pour étudier les variations de la fonction.

Soit, par exemple, la fonction

On voit immédiatement que cette fonction est discontinue pour les valeurs a; =3 et a? =5, qui annulent le dénominateur; et, par conséquent, on île pourra appliquer les théorèmes de la théorie des dérivées, que pour des valeurs de x variant entre des limites qui ne comprennent pas l'un des nombres 3 et 5, On a, en prenant la dérivée de y :

Si Ton résout l'équation,

on trouve :

et, par suite,

les valeurs correspondantes de y sont :

OU

Par suite, i/' est négatif, tant que x est compris entre —- oo et x\ positif pour les valeurs de x comprises entre x' et x"; et il redevient négatif, pour x plus grand que x". D'après cela, on devrait conclure (140) que y décroît, lorsque x varie dans le premier intervalle, qu'il augmente dans le second, et qu'il diminue dans le troisième. Mais, pour les raisons indiquées plus haut, ces conclusions cessent d'être exactes, à cause de la discontinuité de y,

y diminue, en effet, quand x varie de — oo à a?' : car, dans cet intervalle, la fonction est continue, et la dérivée est négative.

Lorsque x varie de a;' à 3, y augmente ; il devient infini pour a? = 3 ; puis il passe brusquement à la valeur — oo , et augmente de nouveau jusqu'à x=^x", valeur pour laquelle y est maximum. A partir de la valeur x\ y diminue jusqu'à ce que l'on ait a? = 5, valeur pour laquelle y est — ce ; puis cette fonction passe brusquement à la valeur -|- oo , et diminue ensuite sans cesse, à mesure que x devient de plus en plus grand.

Si l'on remarque, comme plus haut, que, pour des valeurs très-grandes de x, positives ou négatives, y diffère peu de l'unité, on pourra représenter les conclusions qui précèdent parle tableau suivant; et l'on se fera facilement une idée de la marche delà fonction, qui, dans chaque intervalle, varie toujours dans le même sens.

07 = 5?' = — 1,13873..., î/ = 0,4l6l9... minimum,

x=x"= 3,80539..., 2/ = — 14,41619... maximum,

g III. Application des dérivées à la détermination des valeurs des fonctions qui se présentent sous une forme indéterminée.

147. Cas où une fonction se présente sous la forme -. Soit une fonction :

et supposons que, pour œ = a, on ait, à la fois, f{a) = 0, F {à) = 0; y se présente sous la forme -; et l'on peut se proposer de déterminer la limite vers laquelle tend y, lorsque x tend versa. Cette limite est ce qu'on appelle souvent, improprement, la vraie valeur de y.

Puisque f{a) = 0, F (a) = 0, on a identiquement :

Or, lorsque x tend vers a, les termes du rapport, dans le second membre, tendent respectivement, et par définition même, vers les dérivées f (a) et F' {a). Donc, en prenant les limites des deux membres, on a, pour x = a :

l{x) F'(fl)' F(^) F' (a;)

Donc si f'{x) et ¥' (x) ne sont ni nulles ni infinies, pour a; = a, la vraie valeur de y est la valeur du quotient des dérivées de ses deux termes.

/jntn ^ Q^n