Cas où une fonction se présente sous la forme
Supposons que, pour « = a, la fonction y = ^f^ se présente
126 WVRE II.
SOUS la forme g , c'est-à-dire que Ton ait /"(a) = oo , F (a) = oo . On a identiquement :
Or, pour a; = a, y=rr-\ et 7-—, sont nuls : donc la vraie valeur de
cette expression sera la lin^ite du quotient des dérivées (147). Or ce quotient est :
¥(x)' ' f{xf ' \¥(x)) 'r{x)'
Si donc la limite de y n'est ni nulle ni infinie, et qu'on la désigne par L, on aura, pour la déterminer:
^ lim^^-limf^^V-lim^^
ou L=].-limf-||, d'où L = limPg,
comme dans le premier cas (147).
Si la limite de y est 0, le raisonnement précé()ent ne s'applique plus. Mais alors on remarque que, /p désignant une con stante, l'expression
rw , . ^„ f{x) + k¥{x)
devient aussi ^ pour a? = a, et que sa vraie valeur est /c, puisque,
f (x) par hypothèse, |rH a pour limite 0. On peut donc appUquer la
règle précédente ; et l'on a :
donc Çn=0, ou li„.Ç||.0 = li,„t-M.
La limite de y est encore la hmite du rapport des dérivées.
Il en serait encore de même, si la limite de y était infinie. Car
si TTT^ = 00 , il en résulte que jt-t-t = 0 ; par suite, en vertu de
ce qui précède, -p-f^ = 0, et, par conséquent, ^^; = oq .
/ {a) r [Uj
130. Cas où une fonction se présçnte sous la forme 0 x qo . Si Ton a un produit y = f(x)'X¥{x), et que, pour a; = cf, on trouve fia)=pOt F (a) = <» , on écrit :
y = ~-S ou ?/=^;
et Ton applique les règles précédentes ; car, sous la première
forme, y devient-, et il devient §- sous la seconde.
151. Cas où une fonction se présent^ spys la fORMg 0**. 3oit la fonction '
et supposons (jue F (a) = 0, et /"(a) = 0. Si l'on prend les logarithmes des deux membres, on a :
log^ = /"(a?)XlogF(a?).
Si Ton peut trouver la limite du produit f{x) X logF (rc) par la règle (1^0), on aura celle de log y, et par suite celle de y.
132. Cas où a = qo . La démonstration des règles précédentes suppose que a a une valeur finie, Mais on peut prouver directenient que les règles subsistent, lorsque la forme indéterminée
résulte de l'hypothèse a; = » . Soit, par exemple, y =: '-^ une fonction qui, pour a; = «> , prend la forme -. Posons a; = - ;
nous aurons
Or, pour 37= 00 , on a z = 0. On peut donc appliquer la règle (147), et l'on a:
Ce qu'il fallait démontrer. Seulement il faudra s'assurer, avant
d'appliquer les rèdes, que ~-^ et ^rr tendent bien vers une * * ^ ° ^ F (a?) F (a?)
limite déterminée, quand x tend vers oo . Par exemple, l'expression
sin X , sin X
tend évidemment vers 1, quand x tend vers oo : tandis que le
1 """■ sin X rapport des dérivées a une limite complètement indé-
