COS X

terminée.

155. Remarque. Il peut arriver qu'en appliquant les règles précédentes, on rencontre des dérivées qui présentent toujours la même indétermination que la fonction dont on cherche la vraie valeur. Dans ce cas on est obligé de recourir à des artifices particuliers (voy. la f" partie, n"» 240 et suiv.). Ce qu'il y a, le plus souvent, de mieux à faire, dans ce cas, c'est de remplacer X par a-\-h, d'effectuer les réductions, et de poser ensuite h = 0.

Soit, par exemple, y = J,^""^ ; elle devient - pour x = a,

et les dérivées de ses deux termes deviennent toutes infinies. En posant x = a-{-h, on a :

ou -; r, ou

et sous cette forme, on voit que la limite est zéro, quand h tend vers zéro.

§ IV. Retour de la dérivée à la fonction primitive.

1S4. Théorème. Deux fonctions, qui ont des dérivées égales, ne peuvent différer que par une constante. Si deux fonctions ont des dérivées égales, leur différence a évidemment pour dérivée 0. Il suffit donc, pour prouver le théorème énoncé, de faire voir qu'une fonction, dont la dérivée est nulle, est nécessairemnt constante.

Soit F (a;, une fonction dont la dérivée soit nulle. Considérons les fractions suivantes :

Ti -'''

Y(^x-\-nh) — Y[x-{-{n—l)h]

Ti -'"•

Supposons que, h tendant vers zéro, n augmente de telle manière, que le produit nh conserve une valeur constante k. Les seconds membres si, ea.'-.s» tendront tous vers zéro; car, par hypothèse, le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement infiniment petit de la variable a toujours zéro pour limite. En chassant les dénominateurs des équations [1], et ajoutant ensuite ces équations, il vient :

• F{x + nh^^¥{x) = ¥{x + k)-F{x) = hie, + ^2+-..'^n)y

et, en nommant tq le plus grand des nombres si, £!,...£„, en valeur absolue,

¥{x+ k) -^f{x)<Cnr,h<r,k.

Or, les quantités ei, £2,...£n tendant toutes vers zéro, la plus grande d'entre elles r^ peut devenir aussi petite que l'on veut; et, par suite, la différence fixe, ¥{x-]-k) — ¥(x), ne peut différer de zéro. Deux valeurs quelconques de ¥{x) sont donc égales entre elles; et la fonction est constante.

Alg. sp. B 9

15S. Revenir DE la dérivée a la fonction primitive, dans les CAS LES PLUS SIMPLES. La rechcrche d'une fonction, dont la dérivée est donnée, est l'un des problèmesles plus difficiles que présente l'analyse; et l'on est loin de savoir le résoudre en général. Le théorème qui précède prouve, au moins, qu'une fois une pareille fonction trouvée, toutes celles qui ont, comme elle, la ' dérivée proposée, s'obtiendront en lui ajoutant une constante, de valeur arbitraire.

Nous nous bornerons ici à traiter le problème, dans les cas les plus simples, où la solution s'aperçoit, en quelque sorte, immédiatement :

l»» Quelle est la fonction dont la dérivée est kx'^'i ^^^^

2° Quelle est la fonction dont la dérivée est cos mxl 3<> Quelle est la fonction dont la dérivée est sin ma??

sm mx m

cos ma;

4° Quelle est la fonction dont la dérivée est a" 2 aog e

\oga •

5° Quelle est la fonction dont la dérivée est tang xt

r. . smx cos' ce

On a : tanga7 = = :

° cosic cos X

et l'on voit que la fonction demandée est — log cos a;.

6° Quelle est la fonction dont la dérivée estr; ?

On a, en effectuant la division :

La fonction demandée est, par conséquent, | + | + a;-L(l-aj).

7° Quelle est la fonction dont la dérivée est —. ?

sin X

rt 1 1 - — TT- tang' h X

On a: -. =;r^—i r- = 2cos*|a; = , — H^»

sin a; 2smia;cos4a7 r— tang A- a?

^ ^ tangua; ° ^

La fonction demandée est, par conséquent, L tang | a?/ 8*» Quelle est la fonction dont la dérivée est .^ .J

CL "Y" Xi

On a

la fonction demandée est donc- arc tanff -.

hx 9«> Quelle est la fonction qui a pour dérivée — ?

oc

rk La? 1 T

On a : — = -. La?;

donc la fonction est - (La?)^.

10° Quelle est la fonction qui a pour dérivée -y- ?

On a

1 X xLx~ Laj'

et, par conséquent, la fonction demandée est LLa?.

Nous nous Lornerons à ces exemples, ne pouvant indiquer ici aucune des méthodes que l'on emploie, pour résoudre le problème dans des cas un peu moins faciles.

RÉSUMÉ

i39. Définition des fonctions croissantes ou décroissantes. — 140. Condition pour qu'une fonction soit croissante ou décroissante.- - 141 . Condi-

tion commune au maximum ou au minimum d'une fonction.— 142. Élude

de la fonction ce*. — 145. Étude de — . — 144. Maximum ou minimum

de x'^-hy^, quand X'}'y = a. — i46. Maximum et minimum d'une fraction du second degré. — 146. Examen d'une fonction discontinue. — 147. Recherche de la vraie valeur d'une fonction qui se présente

sous la forme -. — 148. Exemple. — 149. Cas où la fonction devient — . — 180. Cas où la fonction devient 0 X oo. — loi. Cas où

elle devient 0**. — 182. Cas où a = co, — 185. Remarque. — 184. Deux fonctions, qui ont môme dérivée, ne diffèrent que par une constante. — 188. Retour de la dérivée à la fonction primitive, dans les cas les plus simples.

EXERCICES

I. Trouver les bases des systèmes , dans lesquels un nombre peut être égal à son logarithme, en employant l'un des procédés suivants :

1° On étudiera la fonction x — logx, et l'on cherchera la condition, pour qu'elle puisse devenir nulle.

2° On étudiera la fonction ; et l'on cherchera la condition, pour qu'elle

loga;' ; r- -1

puisse devenir égale à l'unité.

3° On étudiera la fonction a' — X'j et l'on cherchera la condition, pour qu'elle puisse devenir égale à zéro.