Remarque IV. Le rapport du coefficient de T„ à celui de

i est ; d commence par être plus grand que 1 , si

m est au moins égal à 2 : puis il diminue, à mesure que n augmente, et il finit par être égal à—, quand n=:m. Tant qu'il

reste plus grand que 1, les coefficients vont en croissant: s'i devient égal à 1 pour une certaine valeur de n, deux coefficients consécutifs sont égaux ; et lorsqu'il est inférieur à 1, les coefficients vont en diminuant. Or la condition

équivaut à

Donc, tant que n est inférieur à la moitié du nombre (m + 1) des termes, ccst-à-dire tant quon na pas formé la moitié du nombre total des termes ^ les coefficients croissent : ils décroissent dans la seconde moitié du développement,

Alg. sp. B 3

45. Remarque V. On n'a fait aucune hypothèse sur.e signe des nombres x et a; a peut donc avoir une valeur négative — h; et Ton a, par conséquent :

ou, en remarquant que les puissances paires de ( — h) sont égales à celles de h, et que les puissances impaires sont égales et de signes contraires :

[5] (a;— fc)"*=a;*"--m6a;"'-^+^^7T^^ è^^»"-* —

h^x'^-^-\-,.,.zt.h'^\

le signe du dernier terme étant + si w est pair, et — si m est impair.

44. Remarque VI. Si, dans la formule [2], on fait 0?= 1, a= 1, on a :

om-. I ^ I ^(w— 1) , y?i(m— l)(m— 2) , ,w , ,. ^ -^"^T"^ 1:2 * 1X3 h-.i-Yi-i.

Ainsi la somme des coefficients du développement est égale à 2*".

43. Remarque VII. Si, dans la formule [5],onfaita; = l,6=l, on a :

Donc la somme des coefficients de rang pair est égale à la somme des coefficients de rang impair.

4G. Remarque VllI. Il existe, entre les coefficients des di • verses puissances du binôme, des relations nombreuses; nous ferons connaître la plus simple, dont on fait un fréquent

Soit :

le développement delà puissance m'"* d*un binôme, dans lequel on a fait, pour abréger :

Multiplions les deux membres de Tégalité par (x + a); nous aurons, en effectuant la multiplication du second membre, d'après la règle ordinaire :

et l'on voit que chacun des coefficients du développement de (x+a)*""*"* s'obtient en ajoutant le coefficient de même rang et h précèdent dans le développement de (x + a)"*. On pourrait d'ailleurs vérifier directement, que l'on a :

m. (m — l)....(m — ?i-|-l) , m.{jn — l)....(m — n-f-2) ^^ 1.2....n ' 1 .2....(n— 1)

§ III. Développement de {a-\-b\J—ïY*'

47. Puissances successives de y/ — !. Pour développer (a+6v/ — l)*", il faut appliquer la formule du binôme qui, résultant de la multiplication, est démontrée, d'après nos conventions (I, 2G1), pour les expressions imaginaires. Il est nécessaire déformer d'abord les di verses Duissances de v/ — 1. Or, en a, d'après nos conventions :

et, en général,

( (sf—iy^-^ = s/~ , (v/^n)^'^« = - 1 ,

48. DÉVELOPPEMENT DE (a -\- b \/ — l)"». D'après cela, on a :

(a + 6 v/"^"T)« = a- + 7na«-* 6 y/^^^ - ^^^^T^^ «'"~'^'