CHAPITRE m
SËRIËS QUI SERVENT AU CALCUL DES LOGARITHMES ET DU NOMBRE tc.
§ L Séries qui servent au calcul des logarithmes.
1^6. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE — L (1 — w). Solt X UDG Variable, que nous ferons varier depuis 07= 0 jusqu'à ^=it,w désignant une constante positive et moindre que 1. Posons :
le signe L désignant, comme dans le chapitre précédent, un logarithme népérien : la dérivée de f{x) est,-i-; et Ton a évidemment ;
ainsi que Ton s'en assure, soit en faisant la division, soit en sommant la première partie du second membre, à l'aide de la théorie des progressions.
Posons aussi :
la dérivée de ç {x), désignée, suivant l'habitude, par 9' (rr), sera précisément la première partie de f{x)\ et l'on aura :
En retranchant l'équation [4] de l'équation [2], il vient :
Le second membre de celle équation est positif et moindre que ■ ,tant que x n'est pas égal à w; on a donc :
Ces inégalités montrent (140), que les fonctions f{x)—^ (x) et
f{x) — <p(a?) — . I iwi \> sont, la première croissante, la
{n-f- ij^i u)
deuxième décroissante, quand x croît de 0 à w. En effet, les deux fonctions sont continues; et la première a une dérivée constamment positive, tandis que la seconde a une dérivée constamment négative.
D'ailleurs, les deux fonctions dont il s'agit sont nulles pour x = 0; donc, pour x= u, la première est positive, et la seconde est négative.
On a, par conséquent :
f{u) est donc compris entre 9 {u) et cp (tt)+ ; et il
est, par suite, égal à cp {u)j augmenté d'une quantité moindre que . i ,wj — :» Cette quantité peut, évidemment se représen-
ter par 6 ' .,.,, r, en désignant par 6 un nombre positif
inférieur à l'unité. On a donc enfin :
c'est-à-dire,
u étant, comme on l'a supposé, inférieur à l'unité, on voit que
f , i. /, \ tend vers zéro, à mesure que n augmente; et l'on
a, par conséquent ; [„] L(i-«)=„+^+^+| + ....
La démonstration même prouve que la série, qui forme le second mrmbre, est convergente, lorsque u est plus petit que l'unité. On pourrait aussi le déduire des règles démontrées (Liv. I, chap. I).
157. Développement de L (1 ■\-u). Soit x une variable, que nous ferons varier entre les limites 0 et i^, u désignant une constante positive moindre que 1. Posons :
[1] f(a^) = L(l-fa;};
la dérivée de f {x) est--^ — ; et l'on a évidemment :
/'(aj) = l— a;+a;*— a;l...±a;"-^=pic"±— - — .
Posons aussi :
et désignons, suivant la notation habituelle, par <p' {x) la dérivée decp(a;); nous aurons :
[4] (p'(aj)=l— a;+a?»— a?»+....±a?»*-*.
En retranchant l'équation [4] de chacune des équations [2], on obtient ;
Les seconds membres de ces équations sont de signes contraires; par conséquent, les deux fonctions f{x) —^{x) et
/ (a;) — <p {x)±: , ayant leurs dérivées de signes contraires,
sont Tune croissante, l'autre décroissante, quand x croît de 0 hu; et, comme elles sont nulles pour a;=:0, elles sont, pour x=u, de signes contraires; et/ {u) est, par conséquent, compris entre
cp(u) et 9{u):+:^^^-p^.
On a donc, en désignant par 6 un nombre positif moindre que 1 :
et, par suite, comme tend vers zéro, lorsque n augmente,
Nous remarquerons, comme à la fin de l'article précédent, que la démonstration même de la formule [b] prouve que la série, qui forme le second membre, est convergente, lorsque u est moindre que 1.
La démonstration pourrait même se faire, sans modifications, si l'on avait u — \; et la série précédente peut donner, par conséquent, le logarithme népérien de 2,
lo8. Formule pour le calcul des logarithmes népériens. Reprenons les deux formules :
il vient, en ajoutant, et en observant que
-—^ étant plus grand que 1, posons :
L'équation [1] devient, en observant que
L^=^N+ft)-LN,
Cmq formule, où N et h désignent deux nombres positifs quelconques, permet de calculer L(N+/î'), quand on connaît LN.
139. Limite de l'erreur commise, en s'arrêtant a un certain TERME. Si l'on néglige, dans le second membre de l'équation [c],
tous les termes qui suivent 2/c)-i iwg|^ i 7\2»-n? l*erreur commise é sera évidemment moindre que
c'est-à-dire moindre que
[i+(2în:s)+(2îrR) +••••}
on aura donc :
En particulier, si l'on néglige, dans la série, tous les termes qui suivent le premier, et que l'on écrive simplement :
L(N+/i)=LN' ^^
Terreur commise sera moindre que
et, à plus forte raison, moindre que
12 Uv'
160. Calcul de LlO. Le module du système vulgaire est l'inverse du logarithme népérien de 10. Il est important de connaître ce nombre. Pour le calculer, on cherche d'abord LlO. Or on a :
En faisant N=I, h=\, dans la formule (c), on a :
rg^o/l , 1 ,. 1 1 1 l__ \
Puis, en faisant N = 4, h = l, dans la même formule, et remarquant que L4 = 2L2, on a :
Par conséquent,
OU, en faisant passer les coefficients de chaque série aux numérateurs, et simplifiant :
On calcule d*abord les nombres^, -;, -g, -j, .... dont chaciln est le neuvième du précédent. On a ainsi ; /
là = 0,22222 22222 22222 22222 22 /
> ^,=0,00000 00000 00001 07931 91 |-^ = 0,00000 00000 00000 11992 43 ^. = 0,00000 00000 OOOÛO 01332 49
On forme ensuite les termes de la première série, en divisant
respectivement les nombres ainsi obtenus par 3, 5, 7.... On a ainsi :
On forme de même les termes de la seconde série; et l'on a :
Puis on ajoute les deux résultats; ce qui donne :
Lie = 2,30258 50929 94045 68402.
On en conclut, par division, que le module des logarithmes vulgaires est :
j-L=loge = j-^^ — =0,43429 44819 03251 82765.
161. Calcul des logarithmes vulgaires. Pour obtenir les logarithmes vulgaires, c'est-à-dire les logarithmes dans le système dont la base est 10, il faut multiplier les logarithmes népériens par le facteur f-r-r, dont nous venons de trouver la valeur.
On pourra aussi calculer immédiatement les logarithmes, en remarquant que, si l'on désigne ce module par M, et qu'on emploie la notation log. pour indiquer ces logarithmes vulgaires, la formule [c] devient :
log(N+/.)-logN=2M {^, + 1^-^,+...).
Si Ton suppose /i= 1, cette formule devient :
f^] log(N + l)-logN={^ + l(-^,+...j.
C'est la formule employée par les calculateurs, qui ont construit les tables dont on fait usage. On calcule seulement les logarithmes des nombres premiers ; les autres s'obtiennent par des additions. Les premiers calculs sont laborieux : mais, lorsqu'on arrive à 101, deux termes de la série suffisent pour obtenir son logarithme avec huit décimales; et lorsqu'on dépasse 1000, le premier terme suffit.
§ H. Séries qui servent au calcul du nombre r.
1G2. DÉVELOPPEMENT DE arc tang u. Soit x une variable, que nous supposons comprise entre 0 et une limite constante w, inférieure ou égale à l'unité.
Posons :
/■(a?) = arc tango;;
cet arc étant celui qui s'annule avec x, et qui varie ensuite d'une manière continue avec cette variable. Nous aurons :
/"(^) = TTr^.= i-''^' + ^'--^' + ----^^"-' + r''
/v>3 /y>S rpl qfl>n — 1
Posons: ,(a;) = a;-- + ----...-^-^— ,,
et, par suite :
nous aurons :
rw-9'(-)=T^.
Par conséquent, la différence TW— ?'(^) est constamment positive, et moindre que a;*'*. On peut donc écrire :
et, par suite, la fonction f{x) — '<f{x) est croissante, et la fonc-
tion f{x) — tp (a;) — - — -— est décroissante, lorsque x varie de 0
à u. Mais ces deux fonctions sont nulles, pour x = 0. La première est donc positive, et la seconde négative, pour x = u\ en
sorte que f{u) est compris entre (p(w) et 9 (u) + - — j^- . Et l'on
peut écrire, en désignant par ô un coefficient positif moindre que 1 :
c'est-à-dire,
tang«=«-- + - + -+...-^-^^— ^+o__;
arc
et comme, pour une grande valeur de n, le terme 0 r—
est aussi petit que l'on veut, on a :
[g] arctangw = w-j+- -y +- — ....
Les deux membres de la formule changeant de signe avec w, celle-ci s'applique évidemment aux valeurs de u comprises entre — 1 et + l«
165. Cas où u est plus grand que l'unité. Si l'on donnait une tangente u plus grande que l'unilé, la série, qui donne l'arc correspondant, devenant divergente, ne serait plus d'aucun usage; mais on pourrait facilement calculer l'arc demandé, en
cherchant à sa place arc tang -, qui en est évidemment le complément, et qui sera formé par une série convergente.
Soit, par exemple, à trouver arc tang 4,49341; on fera usage de la formule :
