TT
- — arc tang î/ = arc tang- = 't— . + 7-^— ;7-7 + ---
Pour calculer les termes successifs de cette série, on formeia d'abord les fractions -, -:r, -t,...; ce qui sera facile, chacune s'obtenant en divisant la précédente par le diviseur fixe
on aura amsi
âLG. sp. B. lu
l'on en conclura:
1 =0,22254 81315 97161 -ir = 0,00367 40968 72041
-ig-= 0,00000, 01487 89767 -L = 0,00000 00060 29354
nu
donc : arc cotang (4,49341) = + 0,22265 64623 16471
ou arc cotang (4,49341)= 0,21897 94968 94113.
Puis : arc tang (4,49341) = | -- arc cotang (4,49341)
= + 1,57079 63267 94897 — 0,2ia^7 94968 94113 ou arc tang (4,49341) = 1,35181 68299 00784.
104. Calcul du rapport de la circonférence au diamètre. Si, dans la formule démantrée (161), on suppose n = 1, l'arc dont la tangente est u, est égal à |, et l'on a :
Cette série est convergente ; mais les termes décroissent trop lentement pour qu'on puisse facilement l'employer au calcul du nombre tc.
On peut obtenir d'autres expressions, qui conduisent rapidement à des valeurs très-approchées de ce nombre. Posons :
arc tang x = p, arc tang y — q; on aura : x = tang p, y = tang g,
tang (p + ç) = Jili2££±iili2£l. :^ £±1 .
. >= v^- 1 i^ 1— tang p tang g l — xy'
donc : arc tang x + arc tang y = arc tanff -^i^ .
On trouverait de même :
arc tang x — arc tang ?/ = arc tang ^~^. .
l+xy
En faisant, dans la formule qui donne tang (p-{-q)^ q z=p^ q = 2p, qz= 3p, on trouvera successivement :
2 arc tang x = arc tang ^
3 arc tang x = arc tan|
4 arc tang a; = arc tang - — — •
et ainsi de suite.
En allribuant k x eih y diverses valeurs, les formules préccdenles donnent:
- =z arc tang 1 = arc tang | + arc tang ^ ,
= arc tang | + arc tang | -j- arc tang i, = 2 arc tang J — arc tang ^ , = 2 arc tang | + arc tang } , = 3 arc tang | — arc tang -ft , — 4 arc tang | — arc tang ^.
La dernière de ces expressions est celle qui se prête le mieux
au calcul de 7.
Voici le tableau des calculs à faire. En appliquant la formule te), on a:
TC = 4 arc tang - — arc tang —
^.n L4 JL \^(1 !__L
Les différents termes de la série, arc tang r^, réduits en fractions décimales, donnent :
arc tang-i- = o,00418 40760 02074 73386 45.
Pour évaluer arc tang -, calculons d'abord les termes positifs o
de la série:
25V» ~ ^y^^^^^ 00000 00000 00013 42 zJtt^^ 0,00000 00000 00000 00000 02 La somme = 0,20006 40569 51981 47467 96.
Si nous calculons ensuite les termes négatifs, nous aurons :
La somme =0,00266 84971 02100 71630 95.
IbO LIVRE II.
En retranchant cette somme de la somme des termes positifs, on
obtient, pour valeur de Tare dont la tangente est - :
arctang \= 0,19739 55598 49880 75837 01
D'où: 4 arc tangii= 0,78958 22393 99523 03348 04.
Et comme arc tang ^ = 0,00418 40760 02074 72386 45
on a: ? = 0,78539 81633 97448 30961 59
Donc: tt = 3,14159 26535 89793 23846.
RÉSUMÉ
i iiO. Développement en série de — L(l — «), u étant compris entre 0 et 1 . - \6T. Développement de L(l-f-w). — 1S8. Série qui représente L(N-|-/0 — LN. — mo. Limite de l'erreur commise, en s'arrêtatrt à un terme donné. — 160. Calcul du logarithme népérien de 10. — 161. Calcul des logarithmes vulgaires. — 162. Développement de arc tang «, u étant moindre que 1. — 165. Développement de arccotu, lorsque u est plus grand que 1 ; application numérique. — 164. Calcul de :r à vingt décimales.
EXERCICES
l. Démontrer la formule :
■^ ba;^-l "^3 (2x2-1)3 +••••]•
Oiî applique la formule [1] dun° 1S8.
IL Démontrer la formule ;
L(a;4- 5) =L{x + 3) -J- L(x — 3) + L (a; + 4) + L(a; — 4) — L (x — 5) — 2La;
y*^2bx'-\-12'^^ \x' — 2bx'-\-12j ■^••••J-
On applique la môme formule.
III. Si a et 5 désignent deux nombres positifs donnés, et que l'on forme une série de nombres, d'après les formules suivantes,
a' = l(a + 5), h'=slFb,
si l'on pose, en outre, a^ 6 ces 9, a^") et &("•) seront exprimés par les formules :
et la limite commune, vers laquelle convergent a(") et U'*\ est - — ^^. Si
a = 0, h = \, cette limite est -.
On s'appuie sur la formule suivante, facile à démontrer :
sin 9 = 2" sin {^^ cos | cos | cos ?. . . . ces (^ .
