PUI\C1PES GÉXÉRAUX SLR LES ÉQUA1I01\S NUMERIQUES DE DEGRÉ QUELCONQUE

g L Variations d'une fonction entière f{x).

163. Forme générale d'une fonction entière. La forme la plus générale, que puisse présenter une fonction entière de a?, f{x}y est la suivante :

/ (j;) = Arr"* + AïO,-"'-» + A.a;'"-^^ + . . . . + A ^,a; + An» ;

A, Ai....A„, désignant des coefficients constants, et m le degré de la fonction.

Lorsque x varie, ce polynôme peut changer de signe, en suivant des lois d'accroissement ou de décroissement, très-variables avec la valeur et les signes des coefficients. Il existe cependant quelques principes généraux qui, pour être presque complètement évidents, n'en sont pas moins très-utiles à signaler d'une manière toute spéciale.

166. Théorème L Toute fonction y entière et rationnelle, d'une variable x , est une fonction continue. C'est-à-dire que; si l'on fait croître la variable d'une manière continuCy la fonction variera aussi d'une manière continue, et ne pourra pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Pour prouver qu'une fonction f{x) est continue, il suffit de faire voir qu'en donnant à a; un accroissement h suffisamment petit, l'accroissement /(a? + /i)— /"(a?) de la fonction pouria être aussi petit qu'on le voudra.

Or on sait que le rapport

a pour limite, quand h tend vers zéro, la dérivée de f{x), qui est :

f{x) — mkx"^^ + (m — 1) Aïo;"-* + (w - 2) k^x"^-^ + .... + A^.» ;

on a donc ïl£±±lilï)=:^'(^) + ,

s étant une quantité qui tend vers zéro avec h. On en tire :

Or f{x), n'ayant pas de dénominateurs qui puissent s'annuler, n'est infini pour aucune valeur de x; le produit h[f{x) + z] tend donc nécessairement vers zéro avec h; et, par suite, il en est de même diQ f{x + h)—f{x)\ ce qui démontre la proposition

énoncée.

167. Remarque. La démonstration s'applique évidemment à toute fonction dont la dérivée est finie ; et l'on peut énoncer ce théorème plus général :

Une fonction reste continue tant que sa dérivée ne devient pas infinie.