Théorème II. Dans une fonction entière

f{x) = Ax^ + A,x"^' + ...,A^,x+k„,,

on peut toujours donner à x une valeur assez grande pour que le premier terme devienne aussi grand que Von voudra, par rapport à la somme de tous les autres, et donne, par conséquent, son signe au polynôme.

Pour prouver que le premier terme peut devenir aussi grand que Ton voudra, par rapport à la somme de tous les autres, il suffit, évidemment, de prouver qu'il peut devenir aussi grand que l'on voudra, par rapport à chacun d'eux considéré isolément.

Or, en comparant le premier terme, Aa?*", au terme général, A„a;"'~'*, on a :

kx'^ A ,

knX

et ce rapport, à cause du facteur a;% peut grandir sans limite. On peut donc prendre x assez grand pour que le premier terme soit mille, cent mille fois, un million, cent millions.... de fois plus grand que l'un quelconque des autres, et, par suite, aussi grand que Ton voudra, par rapport à la somme.

169. Remarque. Il résulte du théorème précédent, qu'une fonction, de degré pair, a le môme signe que le coefficient de son premier terme, pour de très-grandes valeurs, positives ou négatives, de la variable. Une fonction, de degré impair a aussi le même signe que le coefficient de son premier terme, quand la variable reçoit une valeur positive très-grande; mais elle prend un signe opposé à celui de ce coefficient, lorsque x est négatif et de très-grande valeur absolue.

Exemples. 1° a;"— 1000a;* — 195000a;' + 1

est positif, si la valeur absolue de x est suffisamment grande, quel que soit, du reste, son signe.

est positif pour de grandes valeurs positives de a?, et négatif, lorsque Xy étant négatif, a une valeur absolue suffisamment grande.

§ IL Théorèmes sur les racines d'une équation.

170. Théorème I. Lorsque deux nombres, a et b, substitués dans une fonction entière f (x), donnent des résultats de signes contraires, V équation f (x) = 0 a, au moins, une racine réelle comprise entre a et h.

Si l'on suppose, en effet, que x varie d'une manière continue depuis la valeur x = a jusqu'à la valeur x = b, f(x) (166) variera lui-même d'une manière continue : or, passant de la valeur f{a) à la valeur f{b), qui a un signe contraire, il devra nécessairement changer de signe ; et, à cause de la continuité, il prendra

la valeur zéro, intermédiaire entre les valeurs négatives et les valeurs positives.

171. Remarque. Le même raisonnement s'applique à toute équation, dont le premier membre est fonction continue de la variable x.

172. Théorème II. Une équation algébrique ^ de degré impair, à coefficients. réels y a au moins une racine réelle^ de signe contraire à son dernier terme.

Soit f{x) = x'^+' + A,x^'' + A^x''^-' + .... + k^,+, = 0,

une équation de degré impair.

Si Ton substitue à x une valeur négative très-grande, le résultat de cette substitution sera négatif (1C9). Si l'on substitue, au contraire, une valeur positive très-grande, le résultat sera positif; si, enfin, on substitue à a? la valeur G, la fonction f{x) se réduira à son dernier terme Asn+i.

Nous pouvons indiquer ces résultats par le tableau suivant :

Valeurs de x : Signes de f{x) :

0 Signe de Aan+f

Si donc Aan+i est négatif, f(x) change de signe, lorsque x passe de la valeur 0 à + oo^ et a, par suite, une racine positive. Si Asn+i est positif, a? = Oeta; = — oo donnent à f{x) des valeurs de signes contraires: et il y a, par conséquent, une racine négative.

Exemples. L'équation

a, au moins, une racine positive; et l'équation

a, au moins, mv} racine négative.