Théorème III. Une équation algébrique, de degré pair, à

coefficients réels, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles.

Soit

une équation, de degré pair, dont le dernier terme est négatif. D'après ce qui précède, on peut former le tableau suivant :

Valeurs de x : Signes de f{x) :

Lors donc que x varie de — oo à 0, f{x) change de signe : et il CD est de même, lorsque x varie de 0 à + oo. Il y a donc nécessairement une racine comprise entre — » et 0, et une autre entre 0 et + oo ; c'est-à-dire deux racines. Tune positive et Tautre négative. ^

3 III. Nombre des racines d'une équation.

174. PosTULATUM. Noiis admettrons, sans démonstration, la proposition suivante, qui est fondamentale, et qui, hâtons-nous de le dire, peut se démontrer en toute rigueur.

Toute équation algébrique , à une inconnue, ne renfermant que des puissances entières et positives de cette inconnue, et dont les coefficients sont des nombres donnés, réels ou imaginaires de la forme fQ|n y' — 1, admet, au moins, une racine réelle, ou une racine imaginaire de la forme a + h v^--^, a eî b désignant deux nombres réels. ^

Cette proposition étant admise, nous en déduirons facilement la suivante.

17o. Théorème fondamental. Une équation, de degré m, de la

forme [1] Aa^'^ + Aio;"»-^ + A2a;'"-2 + .... + An. = 0,

dans laquelle A, Ai, A2,...Aw représentent des nombres donnés, réels ou imaginaires^ admet toujours précisément m racines réelles ou imaginaires.

En représentant par X le premier membre de l'équation [1], X = 0 admet, en effet, par hypothèse, au moins une racine. Si nons désignons cette racine par la lettre a, qu'elle soit réelle ou imaginaire, X sera divisible* par (ic — a). Désignons le quotient par Q; il sera, dans tous les cas, du degré (w— 1), et son premier terme sera Ax""-^. Nous aurons identiquement :

et les coefficients de Q seront ou réels, ou imaginaires de la forme donnée. Puisque, par hypothèse, toute équation a une racine, Q = 0 en admet une; si nous la désignons par fc, on aura:

et, par suite,

D'après le même postulatum, l'équation Qi = 0, qui est du degré (m — 2), et dont le premier terme est évidemment kx"^-^, doit admettre une racine. Si nous la désignons par c, on aura :

Qi={x-c)Q,, et, par suite,

le premier terme de Qa étant évidemment Aa;*"-'.

En continuant de la même manière, et en opérant sur Q2, comme on Ta fait sur Q et Qi, chaque opération mettra en évidence un nouveau facteur du premier degré; et le degré des quotients successifs allant sans cesse en diminuant, on finira par en obtenir un qui sera numérique et évidemment égal à A. On aura donc :

* La démonstration de ce théorème, donnée (I, !?5 et 76), s'applique, sans modification, au cas où a est imaginaire.

A l'inspection de cette égalité, on reconnaît que l'équation X = 0 est satisfaite pour les valeurs x = a,x=by x — Cj..x = lj et qu'elle ne peut l'être autrement; car toute autre valeur attribuée à X, n'annulant aucun des facteurs du second membre, ne peut annuler le produit, comme on va le voir.

176. Remarque. Un produit de plusieurs facteurs n'est nul, que quand Vun des facteurs est égal à zéro. Gela n'est évident que quand les facteurs sont réels; mais il est facile d'étendre la proposition au cas même où ils sont imaginaires.

Soit le produit

(a + bs/—){a' + bW~l); ona :

[1] (a+b^^^)(a' + b'iJ^^)z=aa''-bb'-{-(ab'-\-bay^:^. Pour que ce produit soit nul, il faut donc qu'on ait à la fois :

( aa'~-bb' = 0, L -• ( a6'+6a'=0;

ou, en faisant la somme des carrés de ces deux égalités :

[3] {aa'—bb'y + {ab' + ba'y = 0.

Or, le premier membre de [3] est identiquement égal à (a^-\-b^) (a'*+6'2), et ne peut, par suite, s'annuler, que si l'on a a = 0, b = Oj ou bien a' = 0, b' = G. Donc il faut que Ton ait :

(a+6v/^=T) = 0, ou (a'-l-6V=l) = 0.

Et la condition est, d'ailleurs, évidemment suffisante.

177. Autre remarque. La formule [5] (17o) montre que le premier membre d'une équation est toujours décomposable en acteurs du premier degré. Elle permet aussi de former le premier membre d'une équation du degré m, lorsque l'on connaît ses m racines. Ce premier membre ne contient rien d'arbitraire que le coefficient A, par lequel on peut évidemment multiplier les deux membres d'une équation, sans altérer les conditioni; qu'elle impose à l'inconnue. Il résulte de là, que deux équations,

qui ont les mêmes racines^ ne peuvent différer que par un facteur constant.

178. Polynômes identiques. Une équation, du degré m, ne pouvant avoir plus de m racines , il en résulte que deux polynômes^ du degré m, en x, ne peuvent être égaux pour plus de m valeurs de cette variable, sans être complètement identiques. Si, en effet, on égale leur différence à zéro, on obtiendra une équation, du degré m, qui, si elle n'est pas identique, ne peut être satisfaite pour plus de m valeurs de la variable.

179. Racines ÉGALES. Dans la démonstration que nous avons donnée (17S), rien ne suppose que les racines désignées par a, h, c....k, l, soient différentes. Le nombre des racines distinctes d'une équation , du degré m, n'est donc pas toujours effectivement égal à m. On énonce cependant tous les théorèmes, comme s'il en était ainsi ; et. pour en acquérir le droit , on dit qu'une racine a est double, triple ou quadruple, lorsque le facteur (a?— a), qui lui correspond, figure deux, trois, quatre fois, dans le produit qui est égal au premier membre.

g IV. Racines imaginaires conjuguées.

180. Théorème. Si une équation à coefficients réels, admet une racine imaginaire a + b ^ — 1 , elle admet nécessairement, et un même nombre de fois, la racine conjuguée a — b y/ — 1 .

Si réquation X = 0,

est satisfaite par l'hypothèse

je dis que le premier membre X est divisible par {x — ay + b^. Effectuons, en effet, la division; le reste, devant être de degré moindre que le diviseur, sera de la forme mx-{-n\ et l'on aura :

[1] x=[(a;-a)^ + 6']Q + ma; + n,

m et n étant des nombres réels, puisqu'il n'a pu s'introduire dans le calcul aucune expression imaginaire. Si, dans les deux membres de l'idcntilc [1] , qui existe, quel

que soit a?, nous faisons x=:^a-\-h\J — 1, le premier membre s'annule, pas hypothèse. Il en est , évidemment, de môme de {x — a)* + b"^ ; et, par suite, on doit avoir :

ce qui exige : ma + ^ = 0, ?n6 = G ;

et, par suite, puisque h n'est pas nul,

On en conclut : X = [(rr — af + 6^] 0.

Or (ic — a)2 + fe2 s' annulant pour x = a — h\/—\^ cette égalité prouve, qu'il en est de même de X.

Si X est divisible par {x — a — hyj^^y, c'est-à-dire si la racine a-\-h\/—\ est double, il faut que Q soit divisible par (x — a — b s/— l) ; on prouvera alors, comme on l'a fait pour X, qu'il admet aussi le facteur (x — a)^-f-6% et l'on aura :

en sorte que la racine a — b \/^^ se trouvera aussi deux fois dans X.

Si X admet trois fois la racine a+ 6 y/^^, il doit être divisible par {x—a — bs/^^Y; et, par suite, Qi doit admettre le facteur (x — a—b\/— l). On prouvera alors, comme on l'a fait pour X et pour Q, qu'il est divisible par (x — ay-{-b\ et que Ton a :

X=[{x-ay+bJQ,=[x-{a + b^/—l)Y[x-(a-b^—l)}Q,;

en sorte que la racine a — b \/~l. est triple, comme sa conjuguée.

Le même raisonnement peut évidemment se continuer indéfiniment; et, par conséquent, la racine a — b yj — l a le même degré de multiplicité que sa conjuguée.

Alg. sp. B. 11 .

3 V. Relations entre les coefficients d'une équation et les racines.