Théorème. Soit

a?*" + Aia;"-* + ....+A«ia?+A,„ = 0,

une équation, du degré m, dont nous supposons , pour plus de simplicité, que le premier terme ait pour coefficient l'unité. Nous avons vu, qu'en désignant par a, 6, C....A;, l, ses racines, on a identiquement :

[1] a^^+Aio;— * + .... + A„ia; + A„

Mais on sait qu'en effectuant le produit indiqué dans le second membre, on aura (57) pour premier terme, x^; pour second terme, a?"^^ multiplié par la somme des seconds termes — a, — 6....— i; pour troisième terme, 0?"*-^ multiplié par la somme des produits, deux à deux, de — a, — b, — c....- ly ou, ce qui revient au môme, par la somme des produits, deux à deux, de a, b, c.,,,l, et ainsi de suite, en sorte que, si Ton représente par 2a, 2a6, J^abc la somme des racines, les sommes de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc., on a : [2] {x — a){x — b).,..(x — k)(x—l)

=zx"'^x'^^I>a + x'^-^I,ab — x'^-^:Labc-\-..,.dzabc....kl,

le dernier terme étant précédé du signe + ou du signe — suivant que m est pair ou impair. En identifiant ce produit avec le premier membre de Téquation [1], on conclut le théorème suivant ;

Dans toute équation algébrique^ dont le premier terme a pou/r coefficient Vunitéf ,

ir"' + AiaJ"^i + ....-f-A^ia; + Am = 0,

le coefficient du second terme Ai est égal à la somme des racines ^prise en signe contraire.

Le coefficient du troisième terme Aj est égal à la somme des produits, deux à deuXy des racines.

Le coefficient du quatrième terme A3 est la somme de leurs produits trois à trois, pris en signe contraire; et ainsi de suite.

Enfin, le dernier terme A„, est égal au produit de toutes les racines, pris avec son signe ou avec un signe contraire, suivant que le degré de V équation est pair ou impair.

182. Remarque I. Ce théorème s'exprime par les équations suivantes :

[3] \ k^=—{ahc + ahd+... + acd+...-{-akl+...\ km=^'::tabc...kl.

En considérant les racines comme des inconnues, nous avons là m équations distinctes, auxquelles elles doivent satisfaire. Lorsque l'on connaîtra quelques-unes des racines, ces équations pourront faciliter la recherche des autres; mais elles ne peuvent pas servir, en général, à la résolution complète de l'équation proposée. Si, en effet, on cherchait, par le moyen de ces équations, à déterminer une racine, a par exemple, il faudrait, pour cela, éhminer toutes les autres; or, quel que soit le moyen que l'on emploie, je dis que l'équation obtenue devra avoir pour solution, non-seulement a, mais encore les autres racines b, c, ky l. Si l'on remarque, en effet, que les racines entrent absolument de la même manière dans les équations [3], que rien ne les y distingue les unes des autres, on conclura que, si l'on parvient, par certains calculs, à éliminer toutes les racines, à l'exception de a, des calculs tout semblables auraient pu éhminer toutes les racines autres que b, par exemple, sans qu'il y eût, dans le résultat, d'autre différence que le changement de a en b : c'est donc la même équation à laquelle aeib doivent satisfaire; et, comme on en peut dire autant des autres racines, il est évident que l'équation en a doit avoir pour racines a, 6, c ... k, Ij et qu'elle ne doit, par conséquent (177), pas différer de l'équation proposée elle-même. Celte conclusion peut d'ailleurs se vérifier d'une manière bien simple.

Reprenons, en effet, les équations [3] :

k,= ^{a+b + c + ... + k + l)/ ' A2== {ab -\- ac -\- ...), [3] ^ A3 = — {abc + abd +...),