V.,n=± cibc ... kl

Multiplions la première par a*"-*, la seconde par a"*-^, la troisième par a*"-'..., l'avant-dernière par a, la dernière par 1, et ajoutons-les; on reconnaîtra facilement, que l'on obtient ainsi l'équation :

A,a^~'+k,a^-'+ . .. + A„.-ia + A^ = — a-,

qui n*est autre chose que l'équation proposée, dans laquelle x est remplacé par a.

185. Remarque IL II ne faut pas affirmer, en vertu de ce qui précède, que les équations [3] ne peuvent jamais conduire à la résolution d'une équation algébrique. Il est prouvé seulement, qu'en cherchant à atteindre ce but par l'élimination de (m — 1) des racines cherchées, on serait ramené à l'équation proposée elle-même ; mais on peut concevoir d'autres manières de procéder. Cherchons, par exemple, à déterminer les deux racines a et b de Féquation du second degré,

x"^ + Aïo; + Aa = 0,

en faisant usage des relations :

a + 6 = — Al, ab = A2.

Formons le carré de la première équation, et retranchons-en, membre à membre, la seconde équation, après avoir multiplié tous les termes pai 4 ; il viendra :

(a + by — kab = Ai^ — 4A2, ou {a—bf = k^—kk^;

d'où a~bz=±i y/Ai' — 4A2.

Connaissant {a-^b) et {a—b), on en conclut facilement a et h,

g VI. Théorème sur les racines d'une équation.

184. Nous terminerons ce chapitre, en précisant davantage les conséquences que l'on peut tirer (170) de la substitution de deux nombres différents dans le premier membre d'une équation.

Théorème. Si deux nombres , a et ,8, substitués à x dans le premier membre d'une équation algébrique X = 0, donnent des ré' sultats de signes contraires, ils comprennent un nombre impair de racines.

II faut entendre que les racines multiples sont comptées un nombre de fois égal à leur degré de multiplicité.

Soient a,h, , .. p^ les racines comprises entre a et p, Q le quotient de la division de X par {x — a)[x — b)..,{x — p)\ en sorte que Ton a identiquement :

X=(a;-a)(a;— 6}...(aj-p)Q,

Q désignant le produit des facteurs qui correspondent aux racines imaginaires et aux racines réelles non comprises entre a et p. Si l'on fait successivement, dans cette égalité, a? = «, a; = p, on aura :

X^=(p-a)(p-6)...(p-i))Qp,

X«, Q«, Xp, Qp désignant ce que deviennent les polynômes X, 0, lorsque Ton y substitue à a; la valeur a ou la valeur p. Par hypothèse, X« et X^ sont de signes contraires : il doit donc en être de même des seconds membres. Or Q« et Q^ sont de même signe : car, sans cela, l'équation Q = 0 aurait une racine, au moins (170), comprise entre a et p. Il faut donc que les produits

soient de signes contraires; et, comme tous les facteurs du premier sont négatifs, et tous ceux du second positifs, il faut évi-

dcmment qne le nombre de ces facteurs, et, par suite, le nombre des racines a, b,..,p, soit impair.

On verrait absolument de la même manière que, si deux nombres donnent des résultats de même signe, ils comprennent un nombre pair de racines (ce nombre peut être zéro).

RÉSUMÉ

16S. Forme générale d'une fonction entière de a;. — 166. Toute fonction, entière et rationnelle, d'une variable a?, varie d'une manière continue. — 1 67. Il en est de même de toute fonction, dont la dérivée ne devient pas infinie. — 168. On peut toujours donner à x une valeur assez grande pour que la fonction prenne le signe de son premier terme. — 169. Signe d'une fonction, de degré pair, ou d'une fonction, de degré impair, lorsque la variable reçoit de grandes valeurs positives ou négatives. — 170. Si deux nombres, a et 6, substitués à œ, donnent à f{œ) des valeurs de signes contraires, l'équation f(x) = 0 admet, au moins, une racine comprise entre a et 6. — 171. Même théorème, pour toute équation dont le premier membre est une fonction continue de x. — 172. Une équation, de degré impair, a toujours une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme. — 173. Une équation, de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines, l'une positive, l'autre négative. — 174. On admet que toute équation a une racine réelle ou imaginaire. — 17ij. Toute équation, de degré ?n, a précisément m racines ; et son premier membre est le produit de m facteurs du premier degré. — 176. Un produit de facteurs imaginaires ne peut être nul , que si l'un deS facteurs est égal à zéro. — 177. Deux équations, qui ont les mômes racines, ne diffèrent que par un facteur constant. — 178. Deux polynômes, de degré m, égaux pour (m+ 1) valeurs de la variable, sont identiques. — 179. Définition des racines égales. — 180. ^i'{a-\-b^—l) est m fois racine d'une équation, à coefficients réels, il en sera de même de (a — b \J — l). — 181 . Expression ces coefficients d'une équation, en fonction des racines. — 182. Les relations ne peuvent pas conduire, par élimination, à la résolution de l'équation. — 185. Il ne faut pas affirmer que, par une autre voie, il soit impossible qu'elles fournissent l'expression des racines. — 184. Si deux nombres, a et p, substitués dans /(ce), donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent un nombre impair de racines; s'ils donnent des résultats de même signe, ils en comprennent un nombre pair, ou n'en comprennent aucunOt

EXERCICES

I. Trouver le maximum du produit a;(p — x*), lorsque x varie de 0 à p. En conclure les conditions, pour que l'équation

x{p—aP)=q admette deux racines positives.

On trouve la condition 4p^ > 21 q^.