CHAPITRE IL
TBÉORÈME DE DESCARTES. — THEOREME DE ROLLE.
g I. Théorème de Descartes.
185. DÉFINITION. Le but de ce paragraphe est la démonstration d'un théorème célèbre, qui permet d'assigner, à la seule inspection d'une équation algébrique, une limite supérieure du nombre des racines positives qu'elle peut avoir.
La démonstration de ce théorème repose sur un lemme, que nous établirons d'abord.
Lorsque deux termes consécutifs d*un polynôme sont de signes contraires, on dit qu'ils présentent une variation de signe : lorsqu'ils ont le même signe, on dit qu'ils présentent une permanence.
186. Lemme. Si Von multiplie par (x — «) un polynôme rationnel et entier, ordonné suivant les puissances décroissantes de x, les coefficients du produit j considérés à partir du premier, présentent cm moins une variation de signe de plus que ceux du multiplicande. On suppose, bien entendu, dans l'énoncé précédent que a désigne un nombre positif.
Soit / (x) le multiplicande considéré. Supposons, pour fixer les idées, que son premier terme ait un coefficient positif; décomposons ce polynôme en groupes de termes, dans chacun desquels tous les coefficients aient le même signe. Le premier groupe se composera du premier terme et de tous les termes positifs qui le suivent sans interruption ; le second groupe commencera au premier terme négafif, et comprendra tous les termes négatifs compris entre celui-là et le premier des termes positifs qui viennent après; ce terme sera le premier du troisième groupe, et ainsi de suite : il est bien entendu que chaque groupe peut ne contenir qu'un seul terme. Écrivons le premier terme de chaque groupe :
[1] Aa,'"-t-+...— Pa;" ...+ Qoj'-f-...
— Ra;'' ...dzLVdz ...ihV,
les termes, que l'on n'écrit pas, étant tous de même signe que le premier terme écrit à leur gauche, et qui commence le groupe auquel ils appartiennent. Il est bon de remarquer, que tous les termes écrits servent de commencement à un groupe, à l'exception du termezh V, qui termine, au contraire, le groupe auquel il appartient.
Multiplions, actuellement, le polynôme ainsi écrit par le multiplicateur {x — a); et attachons-nous seulement à former, dans le produit, les termes en a;"*+% x^^'^, a?'''^*, a;'"*"*, ...a?"+*, et, en outre, le dernier terme dz Va.
On verra tout de suite :
Que le coefficient du terme en a;'"+* est positif;
Que le coefficient du terme en a?*'** est négatif; Que le coefficient du terme en a?^-^* est positif;
Que le coefficient du terme a;**+* a le signe db, c'est-à-dire le même signe que celui du terme en a?" dans le multiplicande.
Le terme ena?'"+*, dans le produit, provient, en effet, du produit de Aa?"* par x.
Le terme en a;P+* provient du produit — Pa?^-^^ de — Vx"^ par x, et du produit, par — a, du terme qui précède immédiatement — Pa?P; or, ce terme ayant, d'après nos conventions, un coefficient positif, son produit par — a aura un coefficient négatif, qui, ajouté à — P, coefficient de — Paj^+S donnera nécessairement une somme négative. Le terme en a;^+* provient du produit -|- Qa;^+* de -)- Qx"^ par a?, et du produit, par — a, du terme qui précède immédiatement Qj?'' ; or, ce terme ayant, d'après nos conventions, un coefficient négatif, son produit par — a aura un coefficient posifif, qui, réuni à -f- Q, coefficient de-|-Qa7«+', donnera nécessairemant une somme posifive.
La démonstration est la même pour les termes suivants.
Ajoutons que le dernier terme du produit, provenant, sans réduction, du produit de ±: V par — a, aura nécessairement le signe =p, en sorte que le produit peut s'écrire :
[2] Kx"^"-' .. — PV+^..-t-QV+*... — RV+^..i2zU'a;"+» ...qzVa;
P', Q', R', U', . . . désignant des nombres positifs, et les termes non écrits ayant un signe incertain.
Or, à l'inspection de ce produit [2], on voit qu'il a au moins une variation de plus que le multiplicande [1], En effet : de Aa;'"+* à — PV+S nous avons au moins une variation ; et il n*y en a qu'une dans la partie correspondante du multiplicande. De — PV+^ à + Q'rC'^S nous avons au moins une variation ; et il n'y en a qu'une dans la partie correspondante du multiplicande. Nous continuerons le même raisonnement jusqu'au terme -f-U'a;"+i; et nous verrons qu'il y a, jusqu'à ce terme, autant de variations de signe, au moins, dans le produit, qu'il y en a en tout dans le multiplicande. Mais, après le ternie dz UV+^, le produit présente encore, au moins, une variation, puisque ce terme n'a pas le même signe que le dernier terme =p Va; et, par conséquent, il y a dans le produit, au moins, une variation de plus que dans le multiplicande. C'est précisément ce qu'il fallait démontrer.
187. Remarque. Si le premier groupe du produit [2], de Xx"*+^ à — PV"*"S offre plus d'une variation, il en présente un nombre impair, puisque ses termes extrêmes n'ont pas le même signe. Donc le nombre des variations introduites, par la multiplication, dans cette partie du produit, est pair. Il en est de môme du nombre des variations introduites dans chaque groupe, jusqu'au dernier exclusivement. Mais ce dernier groupe, qui ne présentait aucune variation dans le multiplicande, en présente dans le produit un nombre impair. Donc, le nombre total des variations iiitroduiîes est impair,
188. Limite supérieure du nombre des racines positives d'une équation. Supposons actuellement que l'on considère une équation algébrique
et soit f{x) le produit des facteurs simples, qui répondent aux racines négatives ou imaginaires de cette équation; de telle sorte qu'en nommant a, p, y, • . • les racines positives, on ait :
D'après le lemme précédent, le produit f{x) {x — a) admet au moins une variation de plus que ({x) : le produit f{x) {x — a) {x — p) en admet une, au moins, de plus que le précédent, et, par suite , deux de plus que f{x) : f{x) {x — a) {x — p) {x — y) en admet au moins trois de plus, et ainsi de suite ; et, par conséquent, lors même que f{x) aurait tous ses termes de même signe, le produit ? (x) a autant de variations, au moins, qu'il y a de racines a, p, y,....
Si toutes les racines de ç (a?) = 0 étaient positives, on supposerait f(x) = 1 ; et la conclusion n'en subsisterait pas moins.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Une équation algébrique,
dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de x, ne peut pas avoir plus de racines positives qu'il n'y a de variations de signes dans les coefficients de cp (x).
C'est là le théorème connu sous le nom de règle des signes de Descartes.
