Limite supérieure du nombre des racines négatives. Soit

une équation algébrique. Si — a désigne une racine négative de cette équation, on a :

et, par suite, a? = + a est racine de l'équation

obtenue en changeant, dans la proposée, a? en — x. Cette équation [2] admet donc, pour racines positives, les racines négatives de l'équation [1]; et, par suite, en lui appliquant le théorème de Descartes, on aura une limite supérieure du nombre de ces racines négatives. Une équation ne peut donc avoir plus de racines négatives qu'il n'y a de variations dans le premier membre de sa transformée en — x.

190. Remarque. Le théorème de Descartes fournit une limite supérieure du nombre des racines positives ou négatives, que peut avoir une équation. Mais il arrive souvent que cette limite n'est pas atteinte, et que le nombre des racines positives, par exemple, est moindre que le nombre des variations du premier membre.

On peut démontrer seulement que, si ces deux nombres son différents j leur différence est toujours un nombre pair.

En d'autres termes, si une équation a un nombre pair de variations, elle a aussi un nombre pair de racines positives; et, si elle a un nombre impair de variations , elle a un nombre impair de racines positives.

Remarquons, pour le prouver, qu'une équation, qui a un nombre pair de variations, a évidemment son dernier terme positif; par suite, en faisant a; = 0 et a; = 00, on aura des résultats de même signe; le nombre des racines positives est donc (184) pair. Si le nombre des variations est impair, le dernier terme est négatif; x = 0, substilué dans le premier membre, donne donc un résultat négatif; x = ^ donne toujours (168) un résultat positif; et, par suite (184), entre 0 et 00, il y a un nombre impair de racines positives.

191. Limite inférieure du nombre des racines imaginaires. Il arrive souvent que l'applicalion de la règle de Descartes rend certaine l'existence de racines imaginaires. Si, en effet, le nombre possible de racines positives, ajouté au nombre possible de racines négatives, forme une somme moindre que le degré de l'équation, il faut bien qu'il y ait des racines imaginaires.

Soit, par exemple, l'équation

x^ + bx^ + 2x—l=0;

son premier membre n'a qu'une variation ; elle ne peut donc avoir qu*une seule racine positive.

Si on change xen — Xj la transformée est ;

qui n'a aussi qu'une variation, et qui ne peut avoir, par suite, qu'une racine positive. La proposée ne peut donc avoir (|ue deux racines réelles ; et elle a, par conséquent, au moins, six racines imaginaires.

On peut remarquer que les deux racines, que la règle de Descartes indique comme possibles, existent certainement dans ce cas ; l'excès du nombre des variations sur le nombre des racines positives étant, en effet, pair (190), il faut bien qu'il soit 0, dans le cas où il n*y a qu'une seule variation.

S II. Théorème de Rolle.

192. Théorème. Deux racines réelles consécutives a ef b, cVum équation (p (x) = 0, comprennent au moins une racine réelle de la dérivée cp' (x) = 0.

En effet, si l'on fait varier x depuis a jusqu'à fe, <^{x) part de zéro pour revenir à zéro ; cette fonction, qui est continue, va donc d'abord en augmentant, pour diminuer ensuite; ou bien, elle commence par diminuer, pour aller ensuite en augmentant. Dans les deux cas, la dérivée change de signe; et comme elle est continue, elle passe par zéro, pour une valeur de x comprise entre a et h. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Gomme la fonction peut subir, entre a et h, plusieurs alternatives d'accroissement et de diminution, la dérivée peut s'annuler plusieurs fois dans l'intervalle. // peut donc y avoir plusieurs racines de la dérivée comprises entre deux racines consécutives de la proposée.

Ce théorème est vrai pour toute équation dont le premier membre est une fonction continue de a?, quand sa dérivée ellemême est continue.

195. Corollaire. Il résulte de là que deux racines consécutives de la dérivée peuvent ne comprendre aucune racine de la proposée^ mais quelles n'en comprennent jamais plus d'une. On voit, en effet, d'une part, que, si deux racines consécutives a, b de la proposée comprennent plusieurs racines a', b', ... de la dérivée, ces racines a', b' de la dérivée ne comprennent pas de racine de la proposée : et l'on voit, d'autre part, que si deux racines consécutives a', b' de la dérivée comprenaient plusieurs

racines a, è,... de la proposée, ces racines a, b de la proposée ne comprendraient pas de racines de la dérivée : ce qui n'est pas possible.

194. Nombre des racines réelles d'une équation. On conclut de ce qui précède, que, si Von sait trouver les racines de la dérivée, on pourra compter le nombre des racines réelles de la proposée. Soient, en eflet, a', b', c',... l\ les racines réelles de la dérivée, rangées par ordre de grandeur : substituons successivement à 0?, dans le premier membre de la proposée, les nombres

Si deux substitutions consécutives donnent des résultats de signes contraires, il y a, dans l'intervalle correspondant, une racine au moins de la proposée (170) et une seule (195). Si les résultats sont de même signe, il n'existe dans l'intervalle aucune racine de la proposée; car il ne saurait s'en trouver plus d'une (195). Ainsi chaque changement de signe, dans les substitutions successives, prouvera Texistence d'une racine réelle de la proposée.

Si l'on désigne par n le nombre des racines réelles de la dérivée, (n+ 1) sera le nombre des intervalles; et par suite (n+ 1) sera la limite supérieure du nombre des racines réelles de la proposée.

On voit encore que, si une équation a toutes ses racines réelles, sa dérivée a aussi toutes ses racines réelles; car les m racines réelles de la proposée fournissent (m — 1) intervalles, dans chacun desquels doit se trouver, au moins, une racine de la dérivée (qui n'a que m— 1 racines.) La réciproque n'est pas vraie.

19o. Application a l'équation du troisième degré. Si Ton considère, en particulier, l'équation du troisième degré, sous la forme simple

x^-^px-\-q=0,

on remarque que, pour qu'elle ait ses trois racines réelles, il faut d'abord que sa dérivée, 3 a;' -{- p = 0, ait ses deux racines réelles; car si celles-ci étaient imaginaires, la proposée ne pour-

176 LIVKE III.

rait avoir (194) plus d'une racine réelle. Il faut donc que p soil négatif; et alors les racines de la dérivée sont :

Il faut, en outre, qu'en substituant successivement à a;, dans le premier membre de la proposée,

chaque substitution amène un changement de signe (19>i). Or, la substitution de — <» rend l'expression négative, et celle de + 00 la rend positive; il faut donc, et cela suffit, que l'on obtienne le signe + en substituant la plus petite racine de la dérivée, et le signe — en substituant la plus grande. Or, le premier membre x^ -\- px -{- q peut se mettre sous la forme xix^-^-p) -{- q. Les conditions nécessaires et suffisantes sont donc fournies par les inégalités :

Distinguons deux cas : P Si g est positif, comme p est négatif, la première inégalité est nécessairement vérifiée; quant à la seconde, on peut l'écrire :

rv""3'

et, comme les deux membres sont positifs, on peut les élever au carré (1,205); et l'on a :

2" Si q est négatif, la seconde inégalité est nécessairement vérifiée. Quant à la première, on peut l'écrire :

ou, en élevant au carré les deux membres qui sont positifs, ou encore (|y+(|y<o. [1]

Telle est donc [1] la condition nécessaire et suffisante, pour que l'équation du troisième degré ait ses trois racines réelles. (Celte condition, on le voit aisément, comprend la première ^<0.)

RÉSUMÉ

18^. Définition des variations et des permanences. — 186. Si l'on multiplie un polynôme entier en x par {x — a), a étant positif, le produit a, au moins, une variation de plus que le multiplicande. — 187. Le nombre des variations introduites est impair. — 188. Le nombre des racines positives d'une équation ne peut surpasser le nombre des variations de son premier membre. — 189. Limite supérieure du nombre des racines négatives. — 190. L'excès du nombre des variations sur le nombre des racines positives est un nombre pair. — 191. Limite inférieure du nombre des racines imaginaires. — 192. Deux racines réelles consécutives d'une équation comprennent, au moins, une racine réelle de la dérivée. — 193. Deux racines réelles consécutives de la dérivée peuvent ne comprendre aucune racine de la proposée; elles n'en comprennent jamais plus d'une. — 194. Lorsqu'on sait trouver les racines de la dérivée, on peut compter les racines réelles de la proposée. Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles, il faut que sa dérivée ait toutes ses racines réelles; mais cela n'est pas suffisant. — 19o. Condition pour que l'équation du troisième degré ait ses trois racines réelles.

EXERCICES

L Lorsqu'une équation algébrique, de degré m, à coefficients réels, est complète, c'est-à-dire, lorsque son premier membre contient toutes les puissances de X, depuis la puissance m jusqu'à la puissance zéro, si toutes ses racines sont réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variations, et le nombre des racines négatives est égal au nombre des permanences.

178 LIVRE m.

II. Si une équation incomplète, de degré m, contient n termes, le nombre des racines réelles ne peut surpasser (2n — 2), si m est pair, et (2n — 3), si m est impair.

On applique les théorèmes (188 et 189), pour ces deux exercices,

III. Si, dans une équation incomplète, il manque un nombre pair de termes entre deux termes de même signe ou de signes contraires, l'équation a, au moins, autant de racines imaginaires qu'il y a de termes manquants.

IV. Si, dans une équation incomplète, il manque un nombre impair de termes entre deux termes de même signe, il y a, au moins, autant de racines imaginaires qu'il y a de termes manquants plus un. El si les deux termes, qui comprennent la lacune, sont de signes contraires, il y a, au moins, autant de racines imaginaires qu'il y a de termes manquants, moins un.

V. Lorsqu'une équation incomplète a toutes ses racines réelles, il ne peut manquer de terme entre deux termes de même signe ; et il n'en peut manquer plus d'un entre deux termes de signes contraires.

VI. Lorsqu'une équation incomplète a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des va'riations; et le nombre des racines négatives est égal au nombre des permanences, augmenté du nombre des lacunes.

On applique, pour les exercices III, IV, V, VI, les théorèmes (188), 189 et 101).

VIL Deux racines consécutives d'une équation comprennent toujours un nombre impair de racines de la dérivée, pourvu que l'on compte pour deux chaque racine double que peut avoir la dérivée, pour trois chaque racine triple, etc.

On étudie les variations du premier membre de l'équation (193).

VIIL Si ron a une équation

a;" + Aia;"»-* + Aj^j^-^ + ....+ k„.iX + A„. = 0 ,

et que l'on multiplie respectivement ses termes par a, a-\-h, a-f2b,.... «+ {fn — 1)&, a + mb (a et b étantdes nombres positifs), on forme une équation nouvelle, qui a une racine comprise entre deux racines consécutives de la proposée, excepté entre la plus petite racine positive et la racine négative qui la précède.

On applique le théorème précédent (VII) .

IX. Si dans une équation f{x) = 0, on change x en —x, le nombre des variations, tant de la proposée que de la transformée, ne peut être supérieur au degré de l'équation : et, quand il lui est inférieur, la différence est un nombre pair.

On examine comment la suppression de certains termes, dans l'équation, influe sur le nombre des variations. ■

X. Si une équation, de degré m, présente v variations, elle a, au plus, (m — r) racines négatives.

Corollaire du théorème IX.

XI. S'il arrive, qu'en âiultipliânt lé premier membre d*une équation par (a?— a), on introduise (îr + l) variations, l'équation proposée a, au moins, 2v racines imaginaires.

Application des théorèmes X et 191.