DÉFINITION DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR ALGÉBRIQUE

Nous avons vu (I7i>), qu'une fonction entiôrc do lavanal)lea; peut toujours se décomposer en facteurs du premier degré, de la forme (a; — a), a désignant un nombre réel ou une cx[)resiiion imnginaire indépendante de x. La décomposition ne peut se faire que d'une seule manière; et chaque polynôme admet seulement un nombre de fadeurs égal à son degré. En général, deux ])olynomes différents admettront des fadeurs inégaux; et ce sera seulement dans des cas particuliers, qu'ils en auront un ou ])lusieurs de comnmns. H est inqjortant, dans plusieurs rcch(îrchcs d'algèbre, de savoir décider, si deux polynômes donnés se trouvent précisément dans un de ces cas, et quel est alors le produit des fadeurs communs, que l'on nomme 'plus grand commun diviseur des deux polynômes.

197. Recherche du plus grand commun diviseur de deux POLYNOMES. Soient cp {x) et cpi (x) les deux polynômes, ordonnés suivant les puissances décroissantes de x. Supposons cp (x) de degré supérieur à cp,(a;), et divisons le premier de ces polynômes par le second. Soient Q le quotient et cpal^) le reste; on aura:

çp(a?) = Q(pi(a;) + cp2(a.-);

et cette égalité prouve, que le produit des facteurs communs à cp(.'r) et à cpi(a;) est le môme que celui des facteurs communs à <pi(a;) et à cp2(a;). <

Soit, en effet, (a? — a) un f;ideur commun à (f{x) et à <pi(ip), qui figure p fois dans chacun de ces deux polynômes ; <f(x) et ^^{x) étant divisibles par (.c — a)p, la somme cp(a;) et l'une des [)arlies Ocfi(a;) admettent évidennnent ce diviseur; il en est, par suite, de même de l'autre partie de la somme, c'est-à-dire de (^^ix).

On verra du mémo, que, si <pi(.c) et cpi(a7) admettent p fois un facteur (a; — a), il en sera de môme de ^{x).

Il est bien entendu que, dans ce qui précède, on peut avoir

D'après cela, les facteurs communs à ^(x) et à <fi{x) sont les mômes que les facteurs communs à ^i{x) et à ^^{x) ; ils doivent ôlrc pris, dans les deux cas, avec les mômes exposants; et, par suite, le plus grand commun diviseur de ©(rr) et de <fi{x) est le môme que celui de (fi{x) et de (fi{x).

On ramènera, de la môme manière, la recherche du plus grand commun diviseur de 91(0;) et de ^2(0;) à celle du plus grand commun diviseur entre 92W et le reste (^^(x) de la division de cpi par cps- On continuera ainsi à substituer aux polynômes proposés d'autres polynômes, dont le degré ira sans cesse en diminuant; et lorsqu'on parviendra à une division qui se fera exactement, le diviseur de cette dernière opération sera le plus grand commun diviseur cherché.

Si l'on parvient à un reste numérique, avant d'avoir rencontré une division qui réussisse, les polynômes proposés n'ont aucun facteur commun, et il n'y a pas de plus grand commun diviseur.

198. Remarque. En cherchant le produit des facteurs communs à deux polynômes, on ne se préoccupe aucunement des facteurs numériques. On peut donc multiplier l'un des polynômes donnés, ou l'un quelconque des restes obtenus dans l'opération par un facteur numérique quelconque. On profite souvent de celte remarque, pour éviter l'introduction des dénominateurs numériques. Il suffit, pour cela, de niultiplicr les dividendes successifs par le coefficient du premier ternie du diviseur; et l'on doit prendre celte précaution, non-seulement pour les fonctions successives <p, çj, 92, ^s,.--? qui servent successivement de diviseurs, mais aussi pour les dividendes partiels, qui se présentent dans le cours de chaque division.

Supposons, par exemple, qu'en divisant ^{x) par <pi(ir), on ait trouvé au quotient un certain nombre de termes, dont nous représenterons l'ensemble par Q,.

Soit |(a;) ce qui reste du dividende, lorsqu'on en a retranché le produit de Qi par le diviseur ; on a :

9W = 0i?iW + 'K^)

et l'on prpqyera, comme au n° i97, que les facteurs communs à (p(rr) et à <ù^{x) sont les mêmes que les facteurs communs h +(a?) et à 9i(ip), et, par suite aussi, que les facteurs communs à li>\{x) et h <$))(a?), h étant une constante quelconque. Il est donc permis de continuer l'opération, après avoir multiplié le dividende partiel ^x) par un facteur numérique &.

On peut aussi diviser l'un des polynômes ou l'un des restes, par un diviseur pumérique qui serait commun.

199, Exemple I. Soit à chercher le produit des facteurs communs aux deux polynômes:

(2a;*— eir' + Sa;^ — Sic+l.

Voici le tableau des opérations :

ç(a;)= a;' — 3a;e+ «* — 4a;2-f 12 a;— 4, (p,(a;)=:2a;* — 6a;3 + 3ir2 — 3 a; 4.1.

Première opération partielle.

Prod' du div^« par 2..

Prod' du reste par 2...

-6a;6+2a;5— 8a;2+24a;- -6a;fi4-3x5— 3a;^+ x^

— X^-\-'iX^- X'-

- W+lkx-

— 2a;^+6a;<— 2a;^— 1 iSx^+k^x-

Deuxième opération partielle.

32x3- 95x2+- 2yx+i

32x3— 608x^ ^ 2 568x— 51 2 Ô13x^— if)39x+513

QiJûtjent du reste par 513„. w^^ .3a?+l

Troisième opération pçirtiellfif a;3,^19.r2+49a;i6 1 x'-3.r+i

3x2+ ^ ip-r-K)

— IGxH^Sa^— 16 — 16x2+48x— 16

THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIOiNS. 183

Ainsi donc, le produit des facteurs communs est (x^ — dx+l); et l'on a ;

cp(a?) = (ic*— 3a;+l)( x' — k),

<p,(a?) = (x^^Sx + 1) (2a;'+ 1).

On remarquera que, dans les opérations précédentes, le polynôme o{x) et le premier reste de la première division ont été multipliés par 2, et que le reste de la seconde division a été divisé par 513. Cette introduction et cette suppression de facteurs numériques sont permises, comme on l'a remarqué plus haut, quoiqu'elles changent les quotients successivement obtenus. Ainsi, par exemple, en divisant (f{x) par <fi{x), sans faire usage

de ces simplifucations, on trouverait pour quotient (-- ^ -), au

lieu de (x^ — x) que nous avons obtenu; mais, les quotients n'étant d'aucun usage, cela n'a pas d'inconvénients.

Exemple II. Considérons, pour second exemple, les deux polynômes :

( (^(x) = a;« — 49aî* + eix^ +\0x* — 2bx — 4, (cpi(a?) = 2^5 — 1807* + 39a;3 — 25a;2 -f a; + 1 .

Voici le tableau des opérations :

2a;6 — 98x*+134a:3+ 20a;2-50^p— 8 | 2x^—18x*+39x^—1bx^+x-\-l

bQv^— 450x<+ 976x3- 625x?+ 25x+ 25 1 25x<— 192x3+244x»— 60x— 17 50.r^— 384x^+ 488x3— loQ.r^— 34.r 2x — 66

— 1650x«+12l75x3— 12625x2+1476x+ 625 — 16o0xH12672x3-161Q4x''+396Qx+1122

— 17x3+ll9x— 85x— 17

Le produit des facteurs communs est donc {x^ — Va;^ + 5a? + 1) ; et, en divisant par ce produit les deux polynômes f{x) et (Di{x), on aura :

<f(x) =(x^~7x^-\-kx+l) {x^-\-7x'^—bx — k)j

(p,(rr) = {x^~^7x'+ bx+l) {2x^ — kx+ 1).

Nous remarquerons, comme plus haut, que diverses simplifications ont été apportées aux divisions précédentes. Dans la première on a multiplié le dividende par 2. Dans la seconde, le dividende a été multiplié par 25, ainsi que le premier dividende partiel ; le reste a été divisé par 497.

Exemple III. Nous chercherons encore le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes :

{^{x) = x'— Ix^ + 15a;* — 40a;' + 48 a; ^ 16, (cpi(a;) — Qx^—^bx'' + 60a;'— 80a; + 48.

Voici le tableau des opérations :

6^6— 42^"^+ 90a;*-240a;2-f- 288rc- 96 | 6a;^— 35a;^+60a;^ - 8Qa;+48 Ga;'''— 35a;^+ 60.x^— 80a;^+ 48a; x — l "

— "tx^^ SU-T»— 106x2+ 240a;— 96

13a;«— 84a;3-f 192a;2— l76a;+48 1 a;^— Gx24-12a;— 8