r3— 78a;'^+156a;'— lQ4a; 13x

Donc le facteur commun est a;'— 6a;'^ + 12a;

Dans ces divisions, on a introduit et supprimé, comme dans les précédentes, des facteurs numériques, que le lecteur, suffisamment averti, apercevra sans peine.

§ II. Racines communes à deux équations.

200. Moyen d'obtenir les racines communes a deux équations. La théorie qui précède permet de ramener la recherche des racines communes à deux équations, à la résolution d'une équation qui ne contient plus qu'elles seules, et qui est, par conséquent, de degré moindre que les proposées. Il est clair, en effet, que le produit des facteurs communs à deux polynômes, étant égalé à zéro, donnera précisém>ent les racines qui les annulent l'un et Vautre.

Soient, par exemple, les équations :

2x^ — 18a;*+ 39a:i^ — 25aj* + a; + 1 = 0 ;

on a vu (199, exemple II), que le produit des facteurs, communs à leurs premiers membres, est :

ic3 — 7a;2 + 5a; -f 1 ;

et, par suite, les racines communes s'obtiendront en résolvant l'équation du troisième degré

a^ — lx'' + 5a; + 1 = G.

Cette équation a évidemment pour racine a; = 1 : son premier membre est donc divisible par (a;— 1). Le quotient, a?^— 6a;— 1, égalé à zéro, fournira les deux autres racines communes,

a; = 3d= sJÏÔ.

% III. Des racines égales;

201. But de la théorie des racines égales. Les procédés, employés pour la résolution des équations numériques, exigent que ces équations n'admettent pas de racines égales. Il est donc essentiel de résoudre les deux questions suivantes.

1° Une équation algébrique étant donnée, reconnaître si elle a des racines égales,

2° Une équation ayant des racines égales, ramener sa résolution à celle de plusieurs autres équations, de degré moindre, et dont les racines soient inégales.

202. Moyen de reconnaître si une équation a des racines ÉGALES. On dit qu'une équation, <j^(x) = 0, admet n fois la racine a, lorsque 9 (a?) est divisible par {x — ay. Le théorème suivant exprime les conditions nécessaires et suffisantes, pour qu'il en soit ainsi.

Théorème I. Pour qu'un nombre a soit n fois racine d'um équation algébrique cp(x) = 0, il est nécessaire et suffisant que, substitué à x, il annule la fonction ^ (x) et ses (n — 1) premières dérivées.

On a, en effet, identiquement :

et, par suite, 9 (a?) = cp [a 4- (a? — a)] .

En développant ç [a+ {x — a)] par la formule générale donnée (110), on a:

9(^)=cp(a) + ^(a;~a)+ï-A^(a;-ra)2+,.. + y^^

A la seule inspection de cette formule, on voit que la condition énoncée est suffisante. Si l'on a, en effet, cp (a) = 0, cp' (a) = 0, çp"-* (a) = 0, tous les termes qui restent dans le second membre contiennent {x — af en facleyr; et 9(0;) est, par conséquent, divisible par {x-r-ay.

Je dis, de plus, que cette condition est nécessaire; supposons, en effet, que f^{x) ^\mï divisijile par (a?— a)**, et f(x) étant la

première des dérivées de ç (x) qui ne s'annule pas pour a; == a, on ait p<n; l'équation précédente deviendra :

îSi Ton divise les deux niembres par (x — aYj il vjendrg, :

égalité impossible; car ©(j;) renfermant, par hypothèse, (x — a)" en facteur, et n étant plus grand que p, le premier membre s*annule pour a; = a, et le second prend une valeur différente de

zéro, savoir : , ^ ' .

On peut déduire du théorème précédent les conditions siiivaiites.

203. Théorème II. Pour qu'un nombre a soit n fois racine d'une équation algébrique cp(x)=0, il est nécessaire et suffisant que^ substitué à x, il annule le polynôme c{)(x), et qu'il soit, en outre^ (n — 1) fois racine de l'équation dérivée f (x) = 0.

Il résulte, en effet, du théorème précédent, que les conditions nécessaires et suffisantes sont exprimées par les équations :

(p(a)=0, 9'(a)=0..., cp"-»(a) = 0,

dont les (n — 1) dernières expriment, que a est racine de Téquation cp' {x) = 0 et de ses (n — 2) premières dérivées; et, par suite, en vertu du même théorème, que a est (n — 1) fois racine de l'équation cp'(a;) = 0.

204. Remarque. Il résulte du théorème précédent, que, si l'on décompose le premier membre d'une équation et sa dérivée en facteurs simples correspondants à leurs diverses racines, à chaque racine multiple a, entrant 7i fois dans l'équation, correspondront, dans la dérivée, (n — 1) facteurs égaux à (x — o); en sorte que, si une équation 9(0;) := 0 admet n racines égales à a, p

racines égales hb,q racines égales à c, r racines égales à d, etc., on a :

(o{x)={x—a)''{x—by{x—cy(x—dy..,,

^'(x)=:(œ'-a)'^^{x^b)^'{x—cy-'{x—dy-K..;

et, par suite, ^(x) et (^'(x) admettent les facteurs communs {x--ay-\ (a;— b)p-\ (x^cy-\ {x- dy-K Je dis, de plus, qu'ils n'en admettent pas d'autres; car, s'ils admettaient un facteur commun {x — k), k serait racine de ^{x) et de ç'(a;), et, par suite (202), racine double de 9(0?) .

Le plus grand commun diviseur j entre le premier membre d'une équation et sa dérivée, est donc le produit des facteurs simples correspondants aux racines multiples, V exposant de chacun d'eux étant diminué d'aune unité.

Et, pour décider si une équation a des racines égales, on cherche le plus grand commun diviseur entre son premier membre et sa dérivée. S'il n'existe pas de plus grand commun diviseur, c'est qu'il n'y a pas de racines égales.

205. Réduction d'une équation qui a des racines égales. Les théorèmes précédents permettent de ramener la résolution d'une équation, qui a des racines égales, à celle de plusieurs autres équations qui n'en ont pas. Considérons, en effet, une équation o{x) = 0; et concevons son premier membre décomposé en facteurs correspondants à ses racines. Soient Xi, Xj, X3, X4 les produits des facteurs de chaque degré de multiplicité, pris chacun une fois seulement, savoir : Xi le produit des facteurs simples; X2 le produit des facteurs qui correspondent à des racines doubles, pris chacun une fois seulement ; et ainsi de suite. En sorte que Ton ait :

Le produit des facteurs, communs au polynôme X et à sa dérivée, est, d'après les théorèmes précédents :

Le produit Pi des facteurs, communs à P et à sa dérivée, est de même :

Enfin, le produit Pj des facteurs, communs à Pi et à sa dérivée, est :

Si Féquation proposée n'admet pas de racines, dont le degré de multiplicité surpasse 4, Pg n'aura plus de facteurs communs avec sa dérivée ; sinon il faut continuer à opérer de la même manière, jusqu'à ce que l'on rencontre un résultat, qui n'ait pas de diviseur commun avec sa dérivée. Maintenant, en divisant chacune des égalités précédentes par la suivante, il vient :

p~ = Qi = X2X3X4,

p- =Q2 ^XgXi,

cl, en divisant chacune de celles-ci par la suivante :

— Xj, 77 — X9, YT — -^3» Pa — A^.

On pourra donc, par de simples divisions, trouver Xi, X2, Xj, X*; et, en résolvant les équations,

Xi=0, X2=0, X3 = 0, x, = o,

qui n'ont plus déracines multiples, on obtiendra séparément les racines simples, doubles, triples, quadruples.... de la proposée.

206. Exemple I. Appliquons la méthode précédente à l'équation

o{x)= x'+ kx' + 2x'' + l2x + kb = 0.

On a : <f'{x) = kd)^ + nx'' + kx + l^

Par des divisions successives, on obtient les équations suivantes :