cp(a;)= {x + l).<f'{x) — S{x^—kx^2l

Par conséquent, le facteur commun à (^{x) et (^'{x) est (a; +3). Donc — 3 est une racine double; on trouve, en effet, par la division :

Exemple II. Soit encore réquation

On a; <f\x)=^b{x'—kx+3).

Les divisions consécutives donnent :

ic8 ioo;^+15o? — 6=o;(o;*— 4o;+3)— 6(0?' — 2o; + l)

Le plus grand commun diviseur, entre cp (o;) et ?'(a7), est donc (o;— 1)2; la seule racine multiple est donc, o;=l, qui figure trois fois dans la proposée; et l'on a, en effet :

^{x)={x—iy,{x'+Sx+6), Exemple III. Soit l'équation :

cp (o;) = o;« — 70;'' + 1 5o;*— 40o;2 + 48o;— 1 6 == 0 ; la première dérivée est :

Nous avons déjà trouvé (199), qtie le produit des facteurs communs à ces deux fonctions est :

a;'— 6a?- +1 2a? — 8, ou {x—2)\

Donc, l'équation proposée admet quatre racines égales à 2 ; on a, en effet :

<p(rr} = (a?— 2)\(a;«+aj— 1).

EîÈMPtE IV. Soit enfin l'équation :

(f(x) = a}^'^l0x' + k7x'—lk0x' + 27lx^—b30x+'2.2b = 0; sa dérivée est :

9'(a;) = 6a;^ — 50a?»+ 188a;«—420a;^+ 542a; ^330. Les divisions successives donnent :

6. 9(0-) = cp'a; (a;— 1)+^ {x^— lOa;^ + SQx^ — 70a; + 75) 9'(a;}= 2(3a;+5)(a;»-10a;*4-36a;«-70a;+75)+72(a;^-5a;2+l la;-15) ir*10a;3+36a;2— 70a;+75 = (a;'— 5a;«+lla;— 15)(a;— 5).

Le produit des facteurs, communs aux deux polynômes, sera donc :

a;^— 507-+ lia; — 15.

Si nous divisons ce produit par sa dérivée, après Tavoir multiplié par 3, nous trouvons :

3a;3— 15a;'+33a;— 45 l 3a;^— 10a;-|- il — 5a;2+22a; — 45 | a?— 5

ou, en multipliant de nouveau par 3,

en supprimant le facteur 16, le dernier reste peut être remplacé par (a; — 5); sans avoir besoin de continuer l'opération, après cette simplification, on voit que (3a;^—10a;4- 11) n'est pas divisible par (a;— 5); car il ne s'annule pas pour a; =+5. Le commun

192 LIVRE m.

diviseur (a;'— 5a;'' + lia;— 15) entre cp (a;) et sa dérivée, n'a donc pas de facteurs multiples; et, par suite, <û{x) a seulement trois racines douTîles, dont les valeurs sont les racines de l'équation :

a;^—5a;^+ lia;— 15=0.

RÉSUMÉ

196. Définition du plus grand commun diviseur de deux polynômes. — 497. Moyen de l'obtenir, par un procédé analogue à celui que l'on suit pour deux nombres. — 198. Remarque importante sur l'introduction ou la suppression des facteurs numériques, dans le cours des divisions à effectuer. — 199. Quelques exemples. — 200. Recherche des racines communes à deux équations. — 201. But de la théorie des racines égales. — 202. Condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation admette n fois la racine a. — 203. Autre forme de celte condition. — 204. Produit des facteurs communs au premier membre d'une équation et à sa dérivée; règle pour décider, si une équation a des racines égales. — 20iî. Réduction d'une équation, qui a des racines multiples, à plusieurs autres qui n'en ont pas. — 206. Quelques exemples.

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