CHAPITRE V

TUÉOUÈMi: I)E SlUIVltf.

220. Le théorème à la démonstration duquel est consacré ce chapitre donne le moyen d'obtenir exactement, et sans aucun tâtonnement, le nombre des racines réelles d'une équation comprises entre deux limites données quelconques.

Soit

(1) Ao;'" + Airc*"-^ + Aaa;"'-^ + + A„,.iX+ A„ = 0.

Une équation numérique de dogré quelconque [n'ayant pas de racines multiples, on commencera par exécuter le calcul qui sert à trouver si elle a des racines égales, en opérant de la manière que nous allons indiquer. En désignant par V le premier membre de l'équation (1) et par V sa déiivée, on divisera V par V, et quand on aura obtenu un reste de degré inférieur à Y', on changera les signes de tous les termes. Soit Va le reste ainsi changé de signe : on divisera V par Va, et en changeant le signe de reste on obtiendra un polynôme V3 de degré moindre que Va; la division de Va par V3 donnera de même un reste qui, changé de signe, sera désigné par V4, et Ton continuera celte opération autant de fois qu'elle sera possible, en obtenant une série de polynômes de degrés décroissants, liés les uns aux autres, d'après la défmition de la division, par des relations de la forme

V = V.'Q, - Va, Y = Va Q. - V3.

(2) Va = Va Q3 - V„

Le dernier reste Vr sera numérique ; car, d'une part, aucun des polynômes V, V2, Vj... ne peut évidem#ïicnt diviser le précédcn! sans diviser tous ceux qui le précèdent, et par suite V et V, qui