THÉORÈME DE STURM

par hypothèse iront pas de facteur commun; et, d'autre part, si V^ n'est pas numérique, on peut diviser Vr-i par V^ et obtenir un reste déplus, Vr+i.

Gela posé, la considération des fonctions V, V, Vî...Vr fournit le moyen de savoir combien l'équation V= 0 admet de racines réelles comprises entre deux nombres « et p; p étant plus grand que a, voici la règle qui fait connaître le nombre de racines :

On substituera à la place de x le nombre a dans les fonctions V, V, Vî... Vr i, Vr, puis on écrira par ordre^ sur une même ligne, les signes des résultats, et Von comptera le nombre de variations qui se trouvent dans cette suite de signes. On écrira de même la suite des signes que prennent ces mêmes fonctions quand on y remplace X par le nombre p, et l'on comptera le nombre des variations de cette seconde suite. Autaiit elle aura de variations de moins que la première, autant l'équation V= 0 aura de racines réelles comprises entre a eî p. Si la seconde suite a autant de variations que la première, Véquation V = 0 n'admet aucune racine comprise entre a et p; la seconde suite ne pourra, dans aucun cas, admettre plus de variations que la première.

221. Pour démontrer ce théorème, il faut examiner comment le nombre des variations formées par les signes des fonctions V, V, y2....Vr, pour une valeur quelconque de a?, peut s'altérer lorsque x passe d'une manière continue de la valeur a à la valeur plus grande p.

Quels que soient les signes de ces fonctions pour une valeur de X déterminée, lorsque x croît par degrés insensibles au delà de cette valeur, il ne peut arriver de changement dans cette suite de signes qu'autant que l'une des fonctions V, Y'. ..Vr change de signe, et par conséquent devient nulle. Il y a deux cas à examiner, selon que la fonction qui s'évanouit est la première V, ou l'une des autres fonctions Y, Vs, ... Vr-i intermédiaires entre V et Vr. La dernière Vrue peut changer de signe, puisque c'est un nombre positif ou négatif.

Voyons, premièrement, quelle altération éprouve la suite des signes, lorsque x, en croissant d'une manière continue, atteint et déoasse une valeur qui annule la première fonction V.

Désignons cette valeur par a; la fonction V dérivée de V ne peut pas être nulle en môme temps que V, puisque par hypothèse l'équation V = 0 n'a pas do racines égales ; considérons des valeurs de x très-peu différentes de a : si en désignant par h une quantité positive aussi petite qu'on le voudra, on fait, tour à tour, x — a — h et a; = a + /i, la fonction Y' aura, pour ces deux valeurs, le même signe que pour x=^ a, car on peut prendre h assez petit pour qu'elle ne s'évanouisse pas, et, par suite, ne change pas de signe tandis que accroît de la valeur a— /t à la valeur a-\-h] cela posé, désignons V par F(a;), on a

F(a + /i) = F(a) + /iF(a)+ j^r^(a)+...

ou, en ohservant que F (a) est nul et que W{a) ne l'est pas,

On voit , d'après celte formule, que pour des valeurs trèspetites de hy¥{a-\- h) di le même signe que ¥{a), et, par suite, que F'(a -f- h)\\ il n'y a donc pas, pour a; = a + /i, de variations entre V et V.

On trouvera de même

F(a -/») = - MF' (fl) - Çf ft + ^-1^ V...

et F (a — h) est, fpar conséquent, de signe contraire à ¥{a), par suite à Y{a — /i), en sorte que pour x= a — h^ il y a une variation entre V et V.

Les signes des fonctions V et Y formaient donc, dans la suite, une variation avant la valeur pour laquelle V est nulle, et cette variation s'est changée en permanence lorsque a; a franchi cette valeur.

Qaant aux autres fonctions V, Va ... V^, chacune aura pour a; = fl + /i le môme signe que pour x= a — h, si toutefois aucune ne s'évanouit pour x = acn même temps que V.

TIIÉORËME DE STUaM. 209

La suite de^- signes des fonctions V, Vi,...Vr perd donc une variation lorsque x, en croissant, dépasse une valeur a qui annule V sans annuler aucune des autres fonctions V, Vs, ...Vr. Il faut examiner ce qui arrive lorsque l'une de ces fonctions s'évanouit, soit pour une valeur de x égale à une racine de V = 0, soit pour toute autre valeur de cette variable.

222, Soit V„ une fonction intermédiaire entre Y et Vr, qui s'annule pour x = b (Vn, bien entendu, peut désigner la fonction V aussi bien que les autres), cette valeur 6 de a; ne peut réduire à zéro ni la fonction Vn^i qui suit Vn, ni la fonction Vn-i qui le précède. (Si ¥« désignait V, V„-i désignerait V.) On a, en effet, entre les trois fonctions consécutives, Vn-i , Vn, V„+i, une relation de la forme

(3) V„-,=:VnO. -V„+„

et si deux fonctions consécutives V„i, V„ étaient nulles pour la même valeur de x, cette équation prouve que Vn+i le serait aussi ; et comme on a

Vn — Vn+l Un

il en serait de même de V„+2, puis de V„+3..., et Ton prouverait enfin que V^ est nul pour cette même valeur de x ; or, cela est impossible puisqu'il est égal à une constante.

Cela posé, substituons à x deux nombres h — h e\.h-\-hy trèspeu différents de 6, les deux fonctions Vn-i et V„+i auront, pour ces deux valeurs de x, les mêmes signes que pour x = b, puisqu'on peut prendre h assez petit pour que V„-i et Vn+i ne changent pas de signes dans l'intervalle ; mais Vn étant nul par hypothèse pour a?=&, l'équation (3) prouve que Vn-i et V„+i sont de signes contraires, et, par suite, quels que soient les signes de V^ pour x = b —h Q{ pour x = b-^hy les trois fonctions

^ n— Ij » n> '' n+l

présenteront toujours une permanence et une variation, Vn ayant nécessairement le même signe que l'un des deux qui le comprennent et un signe différent de l'autre.

ÂLG sp. B. Ï4

210 LIVRE m.

Il n'y a donc, lorsque x, franchissant la valeur 6, passe de b—h à 6 + /i, aucun changement dans le nombre total des variations de la suite.

Il est donc prouvé que chaque fois que la variable a?, en croissant d'une manière continue, atteint et dépasse une valeur qui rend V égal à zéro; la suite des signes des fonctions V, V, Va, Yr perd une variation formée sur sa gauche par les signes de V et de V, laquelle est remplacée par une permanence ; tandis que les changements de signes des fonctions intermédiaires V, "Vî...Vr-i ne peuvent jamais augmenter ni diminuer le nombre total des variations. En conséquence, si l'on prend un nombre quelconque a, positif ou négatif, et un autre nombre quelconque p, plus grand que a, et si Ton fait croître a? de a à p, autant il y aura de valeurs de x comprises entre a et p qui rendent V égal à zéro, autant la suite des fonctions V, V ... Vr pour a? = p présentera, de variations de signes de moins que pour a? = a. C'est le théorème qu'il fallait démontrer.

225. Dans les divisions successives qui servent à former les fonctions Va, Vs.-.Vr, on peut, avant de prendre un polynôme pour dividende ou pour diviseur, le multiplier ou le diviser par tel nombre positif qu'on voudra. Les fonctions Va, V3,...Vr, qu'on obtiendra en opérant ainsi, ne différeront que par des facteurs numériques positifs de celles que nous avons considérées, et qui figurent dans les équations (2); de sorte qu'elles auront respectivement les mêmes signes que celles-ci pour chaque valeur de a?.

Cette remarque permet de faire en sorte que les coefficients des divers polynômes soient entiers, pourvu que ceux de l'équation V = 0 le soient eux-mêmes. Mais il faut bien prendre garde que les facteurs numériques que l'on introduit ou qu'on supprime soient tous positifs.

224. Si Tune des fonctions V, V2.,.Vr-i se trouve nulle pour Tune des limites a? = a, a; = p, il suffit de compter les variations en omettant la fonction qui est nulle. Cela résulte de la démonstration qui a été donnée (222) dans le cas où l'une des fonctions intermédiaires s'évanouit. Lorsque la fonction Vn s'annule en