THÉOK£ME DE STURM

effet pour a? = a, on a vu que pour a;=a — hj V„-.i, Vn et Y„+i forment une variation, et une seule. Or cette variation subsistera lorsqu'en omettant la fonction V„, on considérera Vn-i et V„+i qui sont de signes contraires, comme formant deux fonctions consécutives.

Si V se trouve nul pour x=ol, on en conclut que a est racine de l'équation proposée, et la règle s'appliquera à la recherche de nombre de racines comprises entre a -j- ^ et p. a + /i fournira entre V et V' (221) une permanence, et donnera aux autres fonctions le même signe que la valeur a.

223. Lorsque Ton pourra reconnaître que l'une des fonctions Vn, intermédiaire entre V et V^, conserve constamment le même signe, pour les valeurs de x comprises entre a et p, il ne sera pas nécessaire de considérer les fonctions qui suivent V», la démonstration pourra se faire sans aucun changement, en réduisant la suite à V, V, V2...Vn.

226. Si l'on prend l'un des nombres a et p très-grand et négatif, et l'autre très-grand et positif, en faisant a=—oo, p =:=-{- œ, le théorème de Sturm fera connaître le nombre total des racines réelles. Pour que toutes les racines soient réelles, il faut et il suffit que leur nombre soit égal au degré m de l'équation V=0. Mais le nombre des fonctions V, \\ Vs.-.Vr est, tout au plus, m-f- 1, et, par conséquent, le nombre des variations, au plus égal à m, ne peut atteindre cette Umite que si la suite est complète, c'est-à-dire si les degrés successifs vont en diminuant précisément d'une unité de chaque fonction à la suivante. Il faut de plus, pour que toutes les racines soient réelles , que la substitution de — 00 à la place de x ne donne que des variations, et celle de + 00 que des permanences. Les degrés des fonctions étant alternativement pairs et impairs, on voit aisément que les deux conditions exigent l'une et l'autre que les coefficients des premiers termes soient tous de môme signe, et que cela est suffisant.