NOTIOIVS SUR LA THEORIE DES DIFFERENCES
§ I. Différences des divers ordres.
229. DEFINITION DES DIFFÉRENCES. Si l'on considère une suite de nombres qui se succèdent suivant une loi quelconque, les différences, obtenues en retranchant chacun d'eux de celui qui le suit, forment une nouvelle suite, dont les termes se nomment les différences des termes de la première.
Ainsi, la suite proposée étant représentée par
[1] 2/0, ViyVi^Vh ••• yn-i,yn;
la suite des différences sera
[2] Vi — y,, 2/2—2/1, 2/3—2/2,... yn—yn-x;
(2/1 — 2/0) est la différence de y^; {xji — 1/1)» 1^ différence de i/i; (2/n--2/n-i)i la différence de y„i. Pour former la différence de ^„, il faudrait connaître un terme de plus dans la suite [1].
Pour désigner les différences, on se sert souvent du signe A.
Ainsi, Ai/k désigne la différence (2/^+1 — i/»). D'après cette notation, les termes de la suite
2/0, y*, 2/2> ..• 2/«, auront pour différences
Avo, A?/,, Ay,, ... Aî/„-^.
230. DÉFINITION DES DIFFÉRENCES SECONDES. Une suitc quelconque de nombres étant donnée, leurs différences forment une nouvelle suite, ayant un terme de moins que la première.
L'on peut opérer sur cette suite, comme sur celle qui lui a donné naissance, et former les différences des différences, que l'on nomme des différences secondes. On les désigne par le signe A*.
Ainsi, étant donnée la suite
î/0,2/l> t/2, ... Vnf
les différences premières seront désignées par
^2/0, %i, A2/2, . . . A^„i; et les différences secondes
Aî/i — Aî/o, A2/2 — Ai/i, ... Ai/„i--Aî/„,2,
le seront par
Cette nouvelle série a évidemment un terme de moins que la précédente, et, par suite, deux termes de moins que la proposée,
251. Définition des différences d'ordre quelconque. Si l'on opère sur la suite des différences secondes, comme on l'a fait sur la suite proposée, on formera les différences des différences secondes, que l'on nomme des différences troisièmes, et que l'on désigne par le signe A^
Ainsi, les différences
à% — A^i/o , A^^2 - Ahj^ , . . . A2y„2 - A'î/„3
se désignent par A^^e, A^t/j, . .. A^y„3.
On conçoit que l'on peut continuer ainsi indéfiniment, et former les différences quatrièmes, cinquième?, etc., qui se désigneront par les signes A*, A\ . . ; le nombre de ces différences n'étant limité que par celui des termes de la suite proposée. Ainsi, deux termes ne donnent lieu qu'à une différence première, et il n'y a pas lieu déconsidérer leur différence seconde. Trois termes donnent lieu à deux différences premières et à une différence seconde; il n'y a pas lieu de considérer leur différence troisième. En général, m termes donnent lieu à (m — 1) différences premières, à (m — 2) différences secondes, ... à une différence (w— 1)"'"; il n'y a pas lieu de considérer leur
différence m™«. Si une suite est illimitée, on peut considérer des difTérences d'un ordre illimité.
252. Usage des différences pour la formation des carrés. Nous commencerons par montrer, par deux exemples simples, de quelle utilité peut être la considération des différences.
Considérons la suite des carrés des nombres naturels :
les différences premières sont :
et les différences secondes,
sont lentes égales entre elles. La démonstration est tellement simple, que nous croyons pouvoir nous dispenser de la donner
D'après cette remarque, si l'on voulait former la table des carrés des nombres naturels, on commencerait par écrire la suite [2],
puis le premier terme de la suite des carrés, qui est 1 ; et il est évident que chaque carré s'obtiendrait du précédent, en ajoutant le terme correspondant de cette suite [2]. Ainsi, on dirait 3 et 1, 4; 4 et 5, 9; 9 et 7, 16, etc.
255. Usage des différences i-our la formation des cubes. Considérons la suite des cubes :
[1] 1, 8, 27, 64, 12-, 216, 343, 512, 729,..,; les différences premières sont :
[2] 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217,.. .j les différences secondes sont :
et les différences troisièmes,
sont constantes et égales à 6. Cette loi est générale. En efîet, quatre cubes consécutifs sont :
a^(a + l)^(a + 2)^(a + 3)»; les différences premières sont :
3a»+3a+l, 3(a+l)2 + 3(a+l) + l, 3(a+2f + 3(a+2) + l ; les différences secondes sont :
3[(a+l)»-a^] + 3, 3[(a + 2)'- (a + l)^] + 3, c'est-à-dire, en réduisant,
et la différence de ces deux expressions, c'est-à-dire, la différence troisième, est évidemment 6.
D'après cela, pour former un tableau des cubes, on formerait successivement les suites [4] [3] [2] [1], chacune permettant d'obtenir la suivante par de simples additions. Ainsi, ayant écrit la suite [3] sur une ligne verticale, on obtiendra la suite [2] en écrivant son premier terme 7, et en remarquant que chacun des autres se forme du précédent par l'addition du terme correspondant de la suite [3].
Ayant ainsi formé la suite [2], c'est-à-dire les différences premières des cubes, chaque cube pourra se déduire du précédent, en lui ajoutant la différence correspondante, en sorte qu'ils se déduiront tous du premier 1, par de simples additions.
Ainsi, ayant écrit, sur une ligne verticale, les différences premières obtenues plus haut, on formera la série des cubes, comme l'indique le tableau suivant :
etc.
etc.
Le tableau suivant résume les résultats que nous venons d'obtenir.
