CUBES

ire.

2 mes

3me»^

Pour former ce tableau, on écrit d'abord, dans la première colonne de gauche, trois cubes consécutifs, 1, 8, 27; on en conclut les deux différences premières, 7 et 19, que l'on écrit dans la seconde colonne, et la différence seconde 12, que l'on écrit dans la troisième. Puis, après avoir écrit plusieurs fois, dans la quatrième colonne, la différence troisième qui est toujours 6, on ajoute cette différence à celle qui est à sa gauche, en disant :

6 et 12... 18; 6 et 18... 24; 6 et 24... 30, etc.; on forme ainsi la troisième colonne. On forme de même la seconde colonne à l'aide de celle-ci, en disant : 18 et 19... 37; 24 et 37... 61; 30 et 61... 91, etc. Enfin la seconde colonne, ainsi construite, sert à former la première; on dit : 19 et 37... 64; 61 et 64... 125; 91 et J25... 216, et ainsi de suite.

On voit qu'un nombre quelconque du tableau est égal au nombre placé au-dessus de lui dans la même colonne, augmenté de celui qui est à la droite de ce dernier dans la colonne suivante.

% II. Formules des différences.

254. Expression de ^PUq en fonction de Wo, Wi, u^,... Up, Lorsque (n+ 1) quantités

Wo, Wi, W2,. • Uny

sont données, il n'y a aucune difficulté à former, d'après ce qui précède, leurs différences successives jusqu'à la n*"* inclusivement; nous ne nous bornerons pas cependant aux indications qui permettent d'efïectuer ces calculs, et nous donnerons la formule qui en exprime le résultat général. On a, d'après les définitions :

^hlg=^Ul—^l\— u.,~2^l^-\-uo, ^^Ui■=^Ui—^Ul=Vi—2lti-{-Uiy.. , ^^u^=^hh—^hio=(u, - st/a+î^i) — («2 — 2ifj+wo)

Sans aller plus loin, on peut prévoir la loi suivante : la différence de rang p se forme en multipliant Up, Up i... Uo par les coefficiertts du développement de (x — a)^.

Pour montrer que celte loi est générale, nous allons faire voir, qu'en l'admeltant comme vraie pour une différence d'un certain ordre, elle est vraie, par cela même, pour la différence d'ordre immédiatement supérieure.

Soit donc :

[ 1] \hi,==up-pyr~^+ ^"TX" "^-^~ 1 .2.3 Up.,-j-...dzu,.

Celte formule, donnant la différence p"^' du premier terme d'une suite quelconque en fonction des {p-\-l) premiers termes, nous pouvons l'appliquer au calcul de Apui, en considérant Wi comme premier terme de la suite

Ui, 1/2, liiy.. i/p, »p+i,... w».;

cela revient évidemment à remplacer, dans la formule [1], Uo par uu Ui par 1/2,..., c'est-à-dire à augmenter tous les indices d'une unité. On aura, par suite, en vertu delà même formule :

ou, en retranchant Fégalité [l] de Tégalité [2] :

fp(p-\)(p-2) , p(p — \)\ "V rjl ^ 1.2 J"^'^-^""

Or (46) la- somme de deux coefficients successifs du développement d'un binôme forme un coefficient du développement de la puissance immédiatement supérieure; on peut donc écrire :

c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

253. Expression de u^ en fonction de Wo et de ses p différences SUCCESSIVES. Réciproquement, si l'on donne Vo et ses n différences successives Ai/j, A^Wo,.- A^, on peut calculer es termes successifs i^i, i/jj?.. ^U\ nous donnerons aussi la formule générale, à laquelle conduit ce calcul.

On a, par définition :

Ui — Ul-\-\u^ = U(^+^UQ 4- ^^0 + AX = "^^0 + 2 Awo + A^Wq , Wj = i^-{- Aws = Wo + 2 Ai/o + A' 1^0 + Awi -f- A^ Ml ,

= Wo + 2 Auo + A2 1(, + (Ai/o+AH^o) 4-(A=^Wo+A^'o} .

=:1(o + 3Amo + 3AX4 A'î<o;

et l'on aperçoit immédiatement la loi suivante.

Le terme Up, de rang (p + 1)? ^^ forme ^ en multipliant Uq e^ /e« différences successives^ Auq, A^Wq, à^^UQ.., âi^Ua, par les coefficients du développement de (x + s)^*

Pour démontrer que cette loi est générale, nous prouverons encore, qu'en l'admettant comme vraie pour un terme de certain ordre, elle est vraie, par cela même, pour un terme immédiatement suivant.

Supposons donc que l'on ait prouvé la formule :

[1] ^, = Mo + pAt.o+^^^7^^AX + ... + APUo.

Cette formule donne le (p +!)"*" terme d'une suite quelcongiic Wq, Uij 1(2,... Upy en fonction du premier et de ses p différences successives ; si donc nous appliquons la même formule à la série

AWq, luu Aî/2... Ait^,

elle nous donnera le (p+ 1)"** terme Aw^, en fonction du premier Awq et de ses p différences successives qui sont évidemment A'^Mq, A'mo... A^'+^Wo; on aura donc :

[2] ^u,=^u,+p^'u,+^^^ axH-...+a^+»i/o;

formule qui se déduit de [1] en augmentant d'une unité les indices des A. En ajoutant les formules [1] et [2], il vient :

W;,M =u„+^ll^ = u, + (p+ 1) Awo

et, comme (46) la somme de deux coefficients consécutifs de la puissance p d'un binôme est un coefficient de la puissance (p-f-l), cette égalité peut s'écrire :

t^.M-^^o+(p + l)AWo + ^-^±^AX

ce qui est précisément le résultat qu'il fallait obtenir.

S III. Différences des polynômes.

256. Nous avons reconnu (iS52), que la suite des carrés des nombres naturels a ses différences secondes, et la suite des cubes ses différences troisièmes égales à une constante. Cette proposition s'étend aux différences quatrièmes de la suite des quatrièmes puissances, aux différences cinquièmes de la suite des cinquièmes puissances, etc. Mais, sans nous arrêter à ces propositions, nous démontrerons le théorème suivant, dont elles sont évidemment des cas particuliers.

Théorème. Si dans un polynôme en x, de degré m, on substitue à X U7ie suite de nombres en progression arithmétique, les différences m*"" des résultats obtenus sont constantes.

Soit, en effet, le polynôme :

Supposons que Ton substitue à x les valeurs successives «

désignons par y„ y^, y^,,.., T/n...,

les valeurs correspondantes de y. Toutes ces valeurs sont évidemment des polynômes, de degré m, en a^o, dont les coefficients dépendent de h : car on a :

F {x, + ph) = F-( p/i + a^o) = F ( vh) + F' {vh)x,

De plus, il est clair que, pour passer de l'une de ces valeurs à la suivante, il suffit d'y changer Xa en {x^ + h). On a, en effet, en considérant deux valeurs consécutives de y, y^, et y^+j :

y,= ¥{x, + ph), y,,, = ¥[Xo+{p + l)h];

et il est évident que (a;„+(p-|-l)/i} peutse déduire de (x^^+ph), en y changeant Xq en {xQ-\-h).

Cela posé, les différences premières à^o, ^2/i» ^î/2-.. sont des polynômes du degré (m — 1) en x^, dont les coefficients dépendent de h. On a, en effet :

^y, = y,--y, = ¥{x, + h)-¥{xo)=r{x,)h + nx,)^^ + ....

Or on sait que Tix^) est un polynôme de degré (m— - 1), ¥"{x^) un polynôme de degré (m — 2), etc.; la proposition est donc démontrée pour ^yo. Il en résulte qu'elle est vraie pour les différences suivantes, Ayi, Aî/a,...; car chacune d'elles se déduit de la précédente, en changeant x^^ en {Xf^-\-h); ce qui ne change pas son degré, par rapport kxç^.

La série

[2] Ai/o, A//,,..., A?/„...,

pourrait donc s'obtenir, en substituant successivement à x, dans un certain polynôme, de degré (m — 1), les valeurs x^.x^+h..,.

Si donc nous appliquons à cette suite ce qui a été dit de la suite,

déduite de la même manière d'un polynôme de degré w, nous verrons que les différences des termes de la série [2], c'està-dire

[3] A^Vo, A't/,,..., A'j/,,

sont des polynômes, de degré (?n — 2), en Xo, et que chacun se déduit du précédent, on y changeant Xq en {xQ-{-h); en sorte qu'ils peuvent tous se déduire d'un môme polynôme, en y changeant X enxoj Xq-{- h, 0^0 + 2 /i,...

Si nous appliquons à la suite des différences secondes le théorème dont nous avons déjà deux fois fait usage, nous verrons que les différences des termes de la série [3], c'est-à-dire

[4] A^i/o, A't/,,..., AMy^,

sont des polynômes, de degré {m — 3), en a?,.

Et, en continuant de la même manière, nous verrons que les différences quatrièmes sont des polynômes de degré (m — 4), les différences cinquièmes, de degré (m— 5),... et enfin les différences mr^'y de degré 0, c'est-à-dire indépendantes de Xo; ce qui prouve le théorème énoncé. Car, pour obtenir chacune de ces différences, on doit changer, dans la précédente, Xo en (Xq-j-Ii); et elles sont, par conséquent, constantes, quand elles ne contiennent pas a?,.

257. Remarques. En revenant sur les détails de la démonstration précédente, on peut faire plusieurs remarques utiles.

Remarque I. On a trouvé la formule :

On voit que l'accroissement h est facteur dans le second membre; et qu'il le sera encore, si l'on remplace x par {xç^-\-h), (ic, -|-2/î), pour former les différences A!/i, Ay^,..,; en sorte ÂLG. sp. B. 15

que toutes les différences premières contiennent en facteur l'accroissement h.

Remarque II. Il est évident que, si le polynôme proposé ¥(x) renfermait h en facteur, ce facteur se retrouverait dans les dérivées successives ¥'{x), F"(a7o)... F"'(a;o); et, par suite, tous les termes de la différence contiendraient, non plus seulement h, msiïsJf en facteur. Il résulte de là que, la différence première étant un polynôme qui contient h en facteur, la différence seconde contiendra h^ en facteur à tous les termes. La formule [1] prouve, en général, que, si un polynôme F (a;) contient en facteur une puissance h^ de /i, sa différence contiendra à tous les termes le facteur /i^+*; et il en résulte de là, que les différences des différences secondes, c'est-à-dire les différences troisièmes, contiendront le facteur h^, que les différences quatrièmes contiendront le facteur h\ et ainsi de suite.

On voit que, si l'accroissement h décroît de plus en plus, les différence décroîtront suivant une loi d'autant plus rapide que leur ordre sera plus élevé.

Remarque III. L'expression générale de Aj/o,

Ai/o = F'(a;o)/^ + F''(rro)~ +

est, comme nous l'avons dit, un polynôme, de degré (m — 1), que l'on peut ordonner suivant les puissances de x^. Si Ao;'" représente le premier terme de F (a?), il est facile de voir que le premier terme de At/o sera le premier terme de ¥' {Xq}!}., c'està-dire, m Aie*"-* /i; et que, par suite, A?/o, Ai/i, At/j..., s'obtiendront en substituant à x les valeurs a?o, {x^ -f h), {x^ + 2/i)... dans un polynôme dont le premier terme est mhkx'^~\ En appliquant à ce polynôme le résultat trouvé pour F (a?), on verra que les différences premières de ce polynôme, c'est-à-dire les différences secondes de F (a;), peuvent s'obtenir en substituant à x les valeurs a?o, (a?o + /i)..., dans un polynôme dont le premier terme est 'm{m—\)khH'^-'^. On verra de même, que le premier terme du polynôme, qui donneiait les différences troisièmes.

est m (m— 1) (m — 2) kh^x'^K Enfin la différence m»», qui se réduit à un seul terme, puisqu'elle est indépendante de Xq, est :

Les polynômes en x, dont il est question ici, se nomment les différences première, deuxième, troisième,... 77^""% du polynôme y = F(x)j et se désignent parles notations \y, ^}y, A'y,... A"" y.

258. Application au polynôme du troisième degré. Si nous considérons le polynôme du troisième degré :

[1] y — x^-\-px^'-}-qx-{-r,

nous trouverons sans peine, en y remplaçant x par (x+h), et en retranchant [1] du résultat :

[2] ^y=3x^h + (3h^ + 2ph)x + li'+ph' + qh;

de même, en remplaçant x par (x-\-h) dans [2], et en retranchant ensuite [2] du résultat, on a :

[3] A*t/ = 6a;/i2+ 6/i'+ '2ph^;

et, en opérant sur [3] de la même manière, on a :

[4] ^^y = 6hK

Pour obtenir les valeurs de A?/o, ^Vi, A^2---; ^^yo, A^i/j..., il suffira de remplacer, dans le second membre des formules [2] et [3], X par a?o, {^^-{-h), etc.

Si l'on voulait foraier les valeurs numériques de la fonction y et de ses différences, il faudrait procéder comme on Ta indiqué pour former le tableau des cubes.