Exemple. Soit, par exemple, le polynôme

y = x^ — bx"^ -\- 6x — l;

formons les valeurs que prend ce polynôme pour des valeurs entières de la variable. Si Ton fait successivement 07 = — i,a;=^0, a;= 1, on trouve pour valeurs correspondantes àe y,y = —l3, î/ = — Ij ^=1, dont les différences premières sont 12 et 2, et la différence seconde est — 10. Quant à la différence troisième

de y, on sait qu'elle est égale à 6. On disposera ces résultais de la manière suivante :

\hj

^hj

et Ton remplira ensuite les différentes colonnes, en remarquant que chaque terme de Tune d'elles (la première colonne exceptée") est égal à celui qui est au-dessus . augmenté du terme correspondant à ce dernier dans la colonne placée à sa droite. Celte remarque permet évidemment de prolonger les colonnes dans les deux sens ; on trouve :

^hj

Pour prolonger d'abord la colonne des différences secondes vers lebas,ondit: — 10 + 6.. .— 4;— 4 + 6.. .2; + 2 + 6. .. 8,ctc. On prolonge de même la colonne des différences premières, à l'aide de la précédente, en disant : — 4 + 2. .. — 2;+2--2...0; 8 + 0. . . 8, etc. On prolonge de même la série des valeurs de y (qui correspondent à a; = 2, 3, 4, . . . ) en disant : — 2 + 1. . . — 1 ; 0=1... — 1; 8 — I...7, et ainsi de suite. Pour prolonger les colonnes vers le haut, on remarque qu'un

terme d*une colonne est la différence entre le terme placé audessous de lui dans la même colonne, et le terme placé à droite et au-dessus dans la colonne suivante. On prolonge donc d'abord la colonne intitulée A^i/, en disant :— 10 — 6.. . — 16; — 16 — 6. . . —22 ; — 22 — 6. . . —28, etc. On prolonge ensuite, à l'aide de celle-ci, la colonne des A?/, en disant : 12 — ( — 16)... 28; 28 — (—22)... 50, etc. On prolonge enfin la série des valeurs de y, en disant; — 13 — 28... — 41 ; — 41— 50. .. — 91,et ainsi de suite.

240. Remarque. On voit, par l'exemple précédent, que, pour calculer les valeurs d'un polynôme du troisième degré, qui correspondent à des valeurs entières de la variable, il suffit de connaître celles qui correspondent à trois nombres entiers consécutifs — 1, 0, -f- 1 ; en se fondant sur ce que la différence troisième est constante, il est très-facile d'obtenir, par de simples additions, les valeurs suivantes.

Si le polynôme proposé était du quatrième degré, la différence quatrième serait constante ■ et, pour former la série de ses valeurs, il suffirait de connaître quatre valeurs consécutives. Il en faudrait cinq pour un polynôme du cinquième degré ; et ainsi de suite. Il faudrait en connaître m pour un polynôme du m*"» degré.

g IV. Différences des fonctions.

241. Définition. Soit une fonction quelconque y = ¥{x). Si l'on désigne par x une quelconque des valeurs attribuées à x^ et par {x -{- h) la valeur suivante, l'expression

^y = \{Fx) = FÇx + h) — F(x)

se nomme la différence première de F{x). De môme, si l'on cbange X en {x-\-h) dans AF(a7), la différence

se nomme la différence seconde de F(a;). Et ainsi de suite.

Exemple. Soit : y = a'.

On a : Ay =^ a^^'' — a''^ a%a^ — 1),

c'est-à-dire que la difl'érence première s'obtient en multipliant la fonction par la constante a'. On a, par suite :

A^y = a%a^ — 1)% ^hJ = a^ia^ —If,... k'y = a%a'' — If.

§ V. Usage des différences pour la construction des tables numériques.

242. Tables numériques. La considération des différences est fort utile dans la construction des tables de toute espèce. Il arrive, en effet, presque toujours que, dans une série de nombres résultant d'une loi régulière, et suffisamment rapprochés les uns des autres, les différences tendent de plus en plus vers l'égalité, à mesure que leur ordre s'élève. En négligeant des quantités fort petites, on pourra, à partir d'un certain ordre, leur supposer, dans un certain intervalle, une valeur invariable, et construire la table comme s'il s'agissait des valeurs d'un polynôme.

Ne pouvant donner ici la raison de ce fait général, nous nous bornerons à le développer sur deux exemples.