Exemple I. Si l'on pose
y = log 0?,
on aura :
ou
Ay = log (X + fi) — log (x) = log ( 1 + -)> Ay = logeg~|, + g,..)
Puis : A^i/ = log [x + 2/i) — 2log (x + h) + log x
= log {x + 2/i) — log o; — 2 j log {x + k) — log X
=iog(.+f).,og(i+g,
OU A^i/ = ~loge^-,--^+...j.
Puis :
A'y = \0g{x + 3/i) — 3log (X + 2/1) + 3log {x + h)^\ogx •
= .Og(l + |)-3.08(l+|) + 3lOg(.+9
OU A«t/ = loge(^-^-etc.j.
Si Ton suppose, par exemple, x — 10000 et /i = 1, il viendra :
Aï/ = 0,000043427276863,
et, si Ton ne voulait avoir les résultats qu'avec dix chifTres décimaux, on pourrait négliger longtemps les différences du quatrième ordre, et procéder comme si la différence troisième était constante. On formera donc successivement les colonnes des différences troisièmes, secondes, premières, comme au ri° 259; d'où l'on déduira les logarithmes des nombres 10001, 10002, 10003, en partant de celui de 100000, qui est 4,000000000000000. 11 faudra vérifier les résultats, au moyen de logarithmes obtenus directement à des intervalles éloignés, La méthode des différences devra les donner exacts, avec le nombre des chiffres que l'on veut conserver. Lorsque le dernier de ces chiffres cessera d'être exact, on calculera de nouveau, à priori, au moyen des formules (245), les différences Ay, A^y, ^Hj; et Von se servira de ces nouvelles valeurs comme des précédentes.
<i44. Exemple IL Soit proposé de calculer, à 7 décimales exactes, une table de logarithmes des sinus de 10 en 10 secondes, depuis 72° jusqu'à 72° l'30^
Nous savons que
sin 720 = iv/l0 + 2v/5 = 0,9510565, COS720=i(v'5— l)=70.3090170;
donc, en prenant les logarithmes de ces deux valeurs, et ajoutant, comme on le fait toujours, dix unités à chacun d'eux :
log sin 72»= 9,9782063255,
logcOS72<' = 9,4899824.
Reprenons les formules précédentes :
2/ = loga?,
A2/ = logeg-^,+ ....),
A«2/ = loge(i-,-....).
Nous cherchons ici log sin <p, cp étant égal à 72», donc :
a; = sin y.
Déterminons maintenant Taccroissement h du sinus, correspondant à un accroissement de l'angle de 10".
On a : h=: sin (cp + lo") — sin cp ;
sin (cp + lO'O =sincp. cos 10" + cos(p.sin 10".
Mais rare 10" = ^^^J^ = 0,00004 84813681....<-i.
Or, comme sin ic> a? — --,
le sinus de 10" ne diffère de son arc, que d'une quantité moindre
que J [j^,j , ou de moins de j^. De plus, cos a; > 1 — |-;
donc le cosinus de 10'' ne diffère de l'unité, que de moins
que I ( -^J , ou que d'une unité du neuvième ordre. On peut
donc, dans la valeur de sin (cp+ 10"), remplacer cos 10" par 1, et sin 10" par arc 10", et écrire :
sin (cp + 1 0") = sin cp -f cos cp x arc 1 0''; donc, avec une approximation de ~g :
/i=:cosyXarc 10".
L'angle cp est égal à 72°; donc, en négligeant /i^, on a :
, 00372" X arc 10" ^2/=loge -^^ô .
Or : log (log e) = 1,637 7843
logCOS 72«=T,489 9824
log 10" = 5, 685 5749
GMogsin 720 = 0,021 7937
donc log A?/ = 6,835 1353
et Ai/ = 0,000 0068412.
Gomme nous calculons les valeurs de log sin <p, à 7 décimales exactes, les valeurs de — g, -^ et, par suite, de A^, nlnfluent
plus sur le résultat que nous cherchons ; et la fonction transcendante log sin 9, dans les limites indiquées , peut être considérée comme une fonction algébrique du premier degré,
fonction qui augmente de r^ environ pour chaque 10" d'augmentation de l'angle f.
Pour être assuré de l'exactitude du dernier résultat, il faudra calculer à 8 décimales et former une progression arithmétique, dont le premier terme est :
log sin 72"» = 1,978 20632....
et dont la différence est 684. E> nous bornant aux quatre derniers chiffres des logarithmes, la progression sera :
Supprimant le dernier chiffre, et ajoutant une unité du septième ordre, lorsqu'il est plus grand que 5, nous aurons :
log sin 7200' 0"=r,978 2063
log sin 720û'lO" = T,978 2132
log sin 72«0'2C/'' = 1,978 2200
log Sin 72'>0'30'' = T,978 2268
log sin 72^0'40"= 1,978 2337 log sin 72*'0'50"=rî,978 2405 log sin 72«r 0" = ï,978 2474 log sin 72n'10" = î,978 2542 logsin72n'20" = 1,978 2610 log sin 72n'30" =1,978 2679
Ce qui s'accorde parfaitement avec les valeurs fournies par les tables de Gallet.
RÉSUMÉ
229. Définition des différences. — 230. Définition des différences second s. — 251. Définition des différences d'un ordre quelconque. — 252. Usage des différences pour la formation des carrés. —255. Usage des différences pour la formation des cubes. — 254. Formule qui exprime la différence d'un ordre quelconque. -— 253. Formule inverse, qui exprime un terme quelconque d'une suite, au moyen du premier et de ses différences successives. — 236. La différence m""' d'un polynôme de degré m, est constante — 257. Les différences premières contiennent, en facteur, l'accroissement h de la variable;, les différences secondes contiennent /i'^ ; les différences troisièmes h^y etc. Expression de la différence m»">. — 258. Application au po lynome du troisième degré. — 259. Exemple. — 240. Pour calculer les valeurs d'un polynôme du 7?i»»« degré, qui correspondent à des valeurs entières de la variable, il suffit de connaître celles qui correspondent à m nombres entiers consécutifs. — 241 . Différences des fonctions. — 242. Des tables numériques. — 245, 244. Applications à la construction des tables.
EXERCICES -
h Trouver, à l'aide des différences , la somme des carrés, la somme des cubes , etc. , des p premiers nombres entiers.
„0n applique la formule du n° «35, en posant Mp=l'»-f- 2''4-3'»-t- ....4-p«
II. Calculer les valeurs que prend, pour des valeurs entières de la variable, le polynôme
III, Prouver que , si 9(0;) désigne une fonction quelconque d'une variable et que Ton considère la suite
«?(«), <fix + h), ç(a; + 2/i),...ç(a: + nfc), les fractions ^, ^, ^....,
ont respectivement pour limites les dérivées du premier, second, troisième ordre de (f{x). En conclure que, si h est petit, les différences sont,, en général, d'autant plus petites que leur ordre est plus élevé.
