CHAPITRE II
J>E L'IXTERPOLATION.
§ I. Énoncé de la question.
243. DÉFINITION. L'interpolation consiste à insérer, entre les termes d'une suite, de nouveaux termes assujettis à la même loi. Ce problème est quelquefois très-facile, lorsque la loi des termes de la suite est connue. C'est ainsi que, entre deux termes d'une progression, on peut insérer par un procédé fort simple , un nombre donné de moyens. Si l'on considère , au contraire, des nombres quelconques dont la loi soit inconnue, le problème de l'interpolation devient complètement indéterminé ; et pour le résoudre, il faut imposer aux termes inconnus une condition qui fasse disparaître l'indétermination. Cette condition est, le plus souvent, que les différences d'un certain ordre seront égales à zérOy On en a vu un exemple dans la détermination des logarithmes des nombres non compris dans la table ; admettre , en effet , comme on le fait, que l'accroissement des logarithmes est proportionnel à celui des nombres, c'est admettre que, pour des accroissements égaux des nombres, les accroissements des logarithmes sont aussi égaux; ou, en d'autres termes, que la différence première des logarithmes est constante , et que , par suite, la différence seconde est nulle. Dans le cas des logarithmes, les tables pjrmettent, d'ailleurs, de vérifier qu'il en est à peu près ainsi pour des accroissements du nombre égaux à l'unité ; et l'on conçoit qu'il doit, à fortiori , en être de même pour des accroissements plus petits : nous avons d'ailleurs montré (245), que les différences secondes des logarithmes diminuent rapidement. Cette loi s'apphque , du reste , à toutes les fondions ; lorsque la variable croît par degrés égaux de plus en plus petits, les différences de la fonction diminuent d'autant plus rapidement que leur ordre est plus élevé. Lors donc que, dans la construction d'une table, on apercevra que les différences d'un certain ord^-e deviennent sensiblement nulles, on pourra admettre qu'il en serait à fortiori de même pour des accroissements plus petits ;
DES DIFFÉRRNCES. 237
Et alors le problèaie de l'interpolalion peut s'énoncer ainsi : Connaissant les valeurs u^, Ui, ii2v--Un d'une fonction, qui correspondent à des valeurs Xo, Xo + h, Xo+ 2h...Xo4-nb, de la variable; en admettant que, pour des accroissements égaux quelconques de X, les différences (n + 1)"'" de la fonction soient égales à zéro , trouver les valeurs de cette fonction qui correspondent à une valeur donnée de x comprise entre Xo et Xo + nh.
§ II. Formules d'interpolation.
SÎ4G. Formule de newton. Reprenons la formule
r,- I K I ^U" — 0a2 I n{:n—\){n — 2)., [IJ Wn = Wo + «^Wo + -^Y-^AXH YJ^ ^'''
qui a été démontré (25o\
Supposons que la dernière valeur de x, pour laquelle u est connu, soit représentée par x^, de telle sorte que l'on ait :
la formule [1] devient :
et, par suite , n = — r —
[2] t/„ = 7/, + -i-^AWo-f 12
ÊSKSzO..
Si, dans le second membre de cette formule, on remplace x^ par la lettre indéterminée x, on formera une fonction <p(a;),
qui, évidemment prend la valeur w„ pour a? = a7i, c'est-à-dire pour x=^Xq-{- nh.
Je dis, de plus, que si Ton y donne à x les valeurs, x^, x^ -f- h, iTo + 2^,... a?o + (n— l)/i, 9 (x) deviendra successivement Wq, Wi, ^2,... Un-i', et, comme d'ailleurs cette fonction est un polynôme du degré n-, dont la différence n""' est constante (233), elle remplit toutes les conditions imposées par l'énoncé, et elle est, par suite, la solution du problème proposé.
Faisons, en effet, dans la fonction cp (x),
x = Xo-{-pfi,
cette valeur pouvant représenter toutes les autres, si le nombre arbitraire p devient successivement 0, l,...n. On aura :
[4] <^{x+ph) = u,+p^u,-i•P^^~^^^\ + ....
p(p^\),...(p—p-\.Vj
+ TJZ:p ^''°'
et les termes suivant disparaissent ; car — 7— ^ devient égal à
j9, et par suite, chacun des termes, à partir du (p + 1)"'% contient (p — p) parmi les facteurs de son numérateur. Or, le second membre de la formule [4] est (235) l'expression de u/, et, par suite , la fonction cp {x) devient, comme nous Tavions annoncé, égale à w^, quand on fait x:=XQ-\-ph, et elle remplit les conditions de l'énoncé.
247. REMARQrjE I. En écrivant, comme nous l'avons fait, la formule :
il faut avoir bien soin de ne pas supprimer les facteurs communs aux deux termes des derniers coefficients. Ainsi, par exemple, le coefficient de A"Uo est l'unité ; mais on doit l'écrire :
DES DIFFÉRENCES, ce qui fournit, par la substitution de
- à ?i, dans le numé-
rateur, un polynôme bien différent de Tunité.
248. Remarque II. La fonction o (a?), que nous avons trouvée (24G), est le seul polynôme en a?, qui puisse résoudre le problème tel qu'il a été posé. En effet, la différence (n+ !)-•' devant être nulle d'après l'une des conditions, le polynôme ne peut avoir de termes de degré plus élevé que le n•»^ Or, un tel polynôme étant désigné par ^ (a?), et devant prendre les mêmes valeurs quccû(j;), savoir 1^0, ^u W2,.--'î^n, pour x-=x^, Xx, Xi,...Xn, il faut que la différence <f{x)—^ {x) s'annule {n + 1) fois , ou en d'autres termes, que l'équation
^{x) — ^ix}=0,
admette au moins (n-f- 1) racines, x^, Xi, x^-... Xr,; ce qui exige, puisqu'elle est du degré n, que son premier membre soit identiquement nul, et que, par suite, les fonctions cp et <}/ soient identiques.
249. Exemple. Nous donnerons une application de la méthode précédente. Supposons que l'on veuille obtenir le logarithme de 3,1415926536, par le moyen d'une (able de logarithmes à dix décimales. On regardera les logarithmes contenus dans cette table, comme les valeurs données de la fonction w, les nombres comme celles de a?, et l'on formera le tableau suivant:
Au
La différence quatrième étant extrêmement petite, on peut considérer la différence cinquième comme nulle.
Pour appliquer la formule
[3] u, = u,+ ^-^o â.u' + ' " '^'^ " L AV
nous devons faire :
Aî/o= 0,0013809057,
