AX

A'wo = 0,0000000277,

A*Wo = — 0,0000000003;

et comme /i = o,oi,

iTû = 3,14, a? — fl?o = 0,0015926536,

on obtiendra :

ii- -= — 0,61357821, — ^- = — 0,71018366.

Avec ces valeurs, il sera facile de mettre en nombres la formule [3], qui donnera :

u^ = log 3,1415926536 = 0,4971498727.

230. Formule de Lagrangé. Il existe une autre formule, qui fait connaître approximativement les valeurs d'une fonction u, lorsqu'on connaît les valeurs i/o» Wi, Wj) • . • Wn, qu'elle prend pour des valeurs Xq, o^i, rca, ... con, de la variable. Nous supposons

comme précédemment, que u soit une fonction rationnelle de X, du degré n. Soit donc :

w, = a -|- pa? + YOî' + . . . + fxo;'* ;

on aura : w^ = a + ^x^ + yo^o' + • • • + f^^o",

î/i = a + PXi +^Xi^+ . . . + [t-xr.

Wn = a + P^r» + )'Xn^-\- ... + v:r„" ;

et l'on pourrait déterminer a, p, y, ... (a, en résolvant ces équations, qui sont du premier degré ; mais on se dispense de celte résolution, en posant :

î/ar = XoWo + XiW, + Xal/a + . . . + XnU„.

Xo, X,, Xa, . . . Xn, sont des fonctions de a?, assujetties aux conditions suivantes :

Pour a; =0^0 .* Xi, Xa, . .. X„, doivent s'annuler et Xo devenir égal à l'unité;

Pour x = Xi: X^, Xj, . . . X„, doivent s'annuler, et Xi devenir égal à l'unité;

Pour x = X2: Xq, Xi, X3, ... X„, doivent s'annuler, et Xa devenir égal à l'unité.

Pour x = Xn: Xq, Xj, ... X„i, doivent s'annuler et X„ devenir égal à Tunité.

Il est évident, en effet, que, d'après ces conditions, t/^r deviendra égal à i/o> Wi, . • • Un pour les valeurs iCo, Xi... x^de x.

Or, Xo s'annulant pour les valeurs Xu x<^,... de x, on peut poser :

Xo = Ao (a; — Xi) (rc — o-s) ... {x — Xn)\ Alg. sp. B. 16

et comme, pour a7=rPo, on doit avoir Xo = 1, on posera

(a?o — x^) {x, — x^)... (a^o — Xn) ' en sorte que

X — ix — x,){x—x^)...{x — Xn) ' {x, — x,){x,— x^],,.{x^—Xn?

On trouvera de même :

* {Xi — X,) {x, — X^),.. {x, — Xr,Y

^ __ {X — X^){X—X,) (X — Xs)... (X — Xn) iX^ — X!,){X2 — Xi)...{X2 — X^) '

et ainsi de suite : la formule cherchée est donc : '

u z=u (^~-^0(^— ^^^•••^^— ^^) I ^ {x—x,)(x—x,)...{x-Xn)

^ ^X^—Xi) (Xf^—Xi) . . . (X^—Xn) "^ * {Xi~X,) {Xi~X,) . . . {Xi—Xr^)

, ^ , ^ {X-'X,)(X — Xi). . . (X—Xn-i) {Xn X(^){Xn Xi). , .{Xn Xn-i)

% III. Application de la méthode d'interpolation à la représentation exacte d'une fonction entière /"(ce), du degré m, dont on connaît les valeurs m,,, ui, ^2)-.. Wm, correspondantes aux valeurs de Xq^ œQ^hf..,œQ-}-mh de la variable.

231, Représentation d'une fonction entière. La formule d'interpolation [3], démontrée (246), a pour but de former une fonction entière, de degré m, qui, pour les valeurs a7o,a7o + /i', . . . XQ-\-mh de x, prenne les valeurs %y Wj, . . , w^. Or, deux fonctions entières, de degré m, ne peuvent être égales pour (w+1) valeurs de la variable, sans être complètement identiques; car, sans cela, en les égalant, on formerait une équation, de degré m, admettant (w+1) racines. La fonction f{x)f indiquée dans

renoncé, est idonc identique à la formule fourme par la méthode d'interpolation ; et l'on a :

2o2. Limites des racines d'une équation f{x) = 0. On conclut de cette formule que, si les quantités Uq, At^^ . . . \"'u^,

sont positives, en donnant à x une valeur telle que ^"7^%

— r— 2 — I j, .. J — ^ — 9 77i f.ij soient des quantités positives,

c'est-à-dire en faisant x plus grand que iro-f(m— 1)/^, /"(a;) sera positif. On peut même ajouter qu'à partir de la valeur x — x^ -f-(m— • \)h, tous les termes qui composent le second membre de la formule [A] augmentent avec x, et que, par suite, il en est de même de f{x). Il résulte évidemment de là que XQ + {m— \]h est une limite supérieure des racines positives de l'équation f{x) = 0; et les solutions de l'équation doivent être cherchées parmi les nombres inférieurs à cette limite.

De même, si l'on donne à x une valeur x^ telle que les quantités ifo, Ai^o, AX, . . . A^-i/o soient alternativement positives et négatives, x^ est une limite inférieure des racines : car, pour toute valeur de x inférieure à x^, chacun des termes de f(x) devenant positif, f{x) ne peut plus devenir nulle.

RÉSUMÉ

24o. But de l'interpolation : Condition arbitraire que l'on s'impose. — 246. Formule d'interpolation de Newton, applicable à une fonction dont on connaît les valeurs pour des valeurs équidistantes de la variable. — 247. Remarque. — 248. La fonction trouvée est le seul polynôme, entier en x, qui puisse satisfaire aux conditions demandées. — 240. Application à un exemple. — 2oO. Formule d'interpolation de Lagrange. — 2oi. Application de la méthode d'interpolation

à la représentation exacte d'une fonction entière, de degré m, dont on connaît les valeurs correspondant à (w+l) valeurs équidistantes de la variable. — 2o2. Limites des racines d'une équation /(cc) = 0.

EXERCICES

I. On a observé une planète, et les ascensions droites ont été trouvées : Le 12 janvier 12'' 30' 0» 3' 25",21,

19 janvier 9'' 0' 0° V 28", 04/

20 janvier 9'' 17' 0' 2' 2G",67, 24 janvier 8'' 1' —0" 0' 58",3.

Trouver, par interpolation, l'ascension droite du 22 janvier à midi.

IL i<es données restant les mêmes, trouver le jour et l'heuie pour lesquels 'ascension droite a été nulle.