RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

§ I. Séparation des racines.

203. Opérations préliminaires. Pour résoudre une équation numérique, il convient d'appliquer d'abord la méthode des racines commensurables, et de supprimer les facteurs qui correspondent à ces racines. On doit ensuite appliquer à l'équation la méthode exposée au livre lU^ chapitre m, pour la décomposer, s'il y a lieu, en plusieurs autres qui n'aient plus que des racines simples. La première de ces opérations n'a d'autre but que de rendre les calculs plus simples. La seconde est indispensable; elle nous permettra d'affirmer, dans ce qui va suivre, que, s'il existe une racine a, deux nombres {a — /i), {a -f /i'), qui la comprennent, étant substitués dans l'équation, doivent donner des résultats de signes contraires, quand h et h' sont suffisamment petits. Il suffit évidemment pour cela qu'il n'y ait aucune racine, autre que a, comprise entre {a — h) et {a-\-h').

Enfin, avant de commencer l'application de la méthode de recherche que nous allons exposer, il sera bon de fixer, par l'application des règles démontrées (208 et suiv.), une limite supérieure des racines positives et une Hmite inférieure des racines négatives que peut avoir l'équation proposée.

204. Substitution de nombres entiers consécutifs. -Après avoir exécuté les opérafions préliminaires dont nous venons de parler, et dont, je le répète, celle qui est relative aux racines égales est seule indispensable, on substituera, dans le premier membre de l'équation proposée, les nombres entiers consécutifs: — ...,— 4,— 3,-2, — 1, 0,+ 1, + 2, + 3, +4..., compris entre les limites des racines. Cette substitution se fera, comme il a été expfiqué (259), par la méthode des différences: c'està-dire que l'on calculera directement un nombre de valeurs consécutives égales au degré m de l'équafion, et l'on en déduira leurs différences jusqu'à celle de l'ordre {m— 1). Puis, en se fondant sur ce que la différence de l'ordre m est constante on

pourra calculer, par de simples additions ou soustractions, les valeurs des différences successives, et par suite celles du premier membre, correspondantes aux autres valeurs de la variable. Il résulte de la loi même qui préside à la formation de ce tableau, qu'en faisant croître a?, on arrivera à rendre la fonction et ses différences toutes positives; et qu'en donnant à x des valeurs décroissantes, on finira par rendre la fonction et toutes ses différences alternativement positives et négatives. On s'arrêtera, dans les deux sens, lorsque ces conditions se trouveront réalisées; car aucune substitution ultérieure dénombres entiers ne pourra, évidemment, modifier les signes.

Si les résultats de la substitution des nombres entiers dans le premier membre ne sont pas tous de même signe, il arrivera, une ou plusieurs fois, que deux résultats consécutifs soient de signes contraires; et nous pourrons affirmer, qu'entre les nombres entiers correspondants il existe une racine ou un nombre impair de racines.

Si le nombre des intervalles, dans lesquels l'existence des racines réelles devient ainsi manifeste, est précisément égal au nombre des racines que le tbéorème de Descartes permet de supposer, les ràcmes sont séparées ; c*esi-h-dire que l'on est assuré d'avoir, pour chacune d'elles, deux nombres qui la comprennent et qui n'en comprennent pas d'autres.

Mais il s'arrive, au contraire, que le nombre de ces intervalles soit moindre que le nombre des racines possibles; et, en particulier, si les nombres entiers, substitués dans le premier membre, donnent tous des résultats de mêmes signes, on doit rester dans le doute, et recourir à de nouvelles substitutions. Mais ces substitutions ne doivent être faites que dans des intervalles choisis, où elles présentent quelque chance de succès. Voici comment on déterminera ces intervalles.

255. Choix des intervalles dans lesquels on doit faire de NOUVELLES SUBSTITUTIONS. Après avoir obtenu les résultats de la substitution des nombres entiers dans le premier membre de l'équation proposée, on portera sur une ligne droite, à partir d'une origine 0,.des longueurs proportionnelles aux valeurs 1, 2, 3,..., attribuées à l'inconnue a?, et, en sens opposé, des longueurs destinées à représenter les valeurs négatives — 1, — 2,

— 3,...; puis, par Textrémité de chacune de ces longueurs, on élèvera (sans y apporter aucune précision) une perpendiculaire représentant la valeur correspondante du premier membre de Téquation proposée, cette perpendiculaire étant portée dans un sens ou dans l'autre, suivant que la valeur est positive ou négative. Il est évident que, si Ton procédait de la même manière, non plus seulement pour les valeurs entières, mais pour toutes les valeurs possibles de a?, le lieu des extrémités des perpendiculaires serait une courbe; et les intersections de cette courbe avec la droite, sur laquelle on porte les x^ ferait connaître les racines ; car elles correspondraient à la valeur de x pour laquelle, le premier membre de l'équation s'annulant, il faut porter une perpendiculaire nulle au-dessus de l'axe. Les valeurs particulières du premier membre, que nous avons obtenues, font connaître des points de cette courbe, et permettent de se faire à peu près une idée de sa forme, et d'en conclure, par conséquent, les intervalles dans lesquels l'existence des racines est pro- \bable, et où il convient de les chercher par des substitutions nouvelles.

Si, par exemple, en substituant kx les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, on trouve pour le premier membre d'une équation, les valeurs

les points correspondants, qu'il faudra construire, sont placés à peu près comme il suit :

1" sT § ^

ôl c, o»

Et l'on conçoit que, si la courbe qui les réunit coupe l'axe des X, ce doit être entre les points 2 et 3. Cependant nous ne sommes nullement en droit d'affirmer que, dans les autres intervalles, il n'y ait pas de racines; il pourrait même, à la rigueur, en exister entre 5 et 6 (intervalle où l'inspection des résultats précédents n'en ferait certainement pas présumer). Il suffirait

que la courbe inconnue, qui réunit nos différents points, fût suftisamment contournée.

236. Théorème. Il existe cependant un théorème, qui assigne une limite aux irrégularités que peuvent présenter les courbes analogues à celles dont il vient d'être question.

Si r équation proposée est de degré m, une parallèle à la ligne, sur laquelle onporte les valeurs de x, ne peut^ dans aucun cas^ rencontrer la courbe en plus de m points.

Soit, en effet, d la distance de cette parallèle à la ligne des x; elle rencontrera la courbe précisément aux points qui correspondent aux valeurs de x, pour lesquelles le premier membre est égal à d. Or, en égalant le premier membre à un nombre donné, on obtient une équation de degré m, qui ne peut avoir plus de m racines. J'ajoute que souvent l'application du théorème de Descartes à cette équation donnera une limite plus petite encore.

Si Ton revient à l'exemple proposé dans le chapitre précédent, on voit que l'existence d'une racine, comprise entre 5 et 6, exigerait que la courbe pût être coupée entre quatre points au moins par une parallèle à la ligne des x, et que, par suite, l'équation, obtenue en égalant le premier membre à un nombre rf, pût avoir quatre racines positives.

2o7. Substitution de nombres équidistants d'un dixième. Lorsque Tinspection des résultats obtenus aura indiqué les intervalles, dans lesquels on présume l'existence des racines, on devra substituer, dans ces intervalles, des nombres équidistanls d'un dixième; et il arrivera, le plus souvent, que ces substitutions montreront assez nettement la forme de la courbe, pour qu'on aperçoive avec certitude les limites qui comprennent les racines, ou que l'on acquière la conviction qu'il n'en existe pas. Nous n'avons rien à ajouter sur la manière de tirer parti de ces résultats nouveaux : il faudrait répéter, mot pour mot, ce que nous avons dit au sujet de la substitution des nombres entiers.

Pour calculer les résultats de la substitution des nombres, de dixièmes en dixièmes, il faudra procéder comme pour celle

des nombres entiers : calculer d'abord un nombre de résultats consécutifs égal au degré de l'équation, former les différences qui en résultent, et chercher ensuite les valeurs suivantes par de simples additions.

g II. Étude spéciale du cas où l'équation est du troisième degré.

2S8. Simplification relative a cette équation. Soit un polynôme du troisième degré

Supposons que l'on ait substitué des nombres équidistanti dont la différence soit h ; on connaît la valeur de la fonclion ^{x} pour une certaine valeur x=Xq de la variable, et l'on a formé, de plus, ^'^{x^), A2cp(a?o), ^^-^{x^). Nous allons donner un moyen simple de calculer les différences qui correspondraient à un accroissement dix fois moindre, et que nous représenterons par

[1] Acp W=cp(a;o +/0-'f W = Vo(^o) + ^?"(^o) + j^ ?'"(^o)

Pour former A2ç(a7o), il faut prendre la différence du second membre, c'est-à-dire son accroissement quand on y change x^ en {x^ + h); on aura

^Y^^) = f^ Wi^o+h) -^\x,)] + -^ [f{x, + h) - f(x,)]

or, ©(:ro) est du second degré, f{Xo) du premier el o\x,) est constant ; on a donc :

?' (Xo + h)-^' {xo)=hfix,)+^^'."'(x,),

9"{x, + h)-v"{x,)=h'f{x,), f{x, + h)-^"'{x,) = 0; donc, en substituant, il vient :

[2] ^'^{x,)=^hy{x,)+hY{x,).

On trouvera de même :

ou, d'après ce qui précède,

[3] \Yx,)=hY(Xo).

Ainsi donc :

[1] A.W- /i'/(^o) + ^ fixo) + Ç <^"Xxo),

[2] ^\{x,) = hY{xo) + hY{x,),

[3] ^Yx.)^hYM-

Si, dans ces formules, on remplace h par — , on aura :

[4] hM -■ f, 9'M + ^ ,''(.o) + ^, ,"'ix,),

A l'inspection de ces formules, on voit que, connaissant les valeurs des différences A, on formera immédiatement S^^Ca^o), qui est la millième partie de i^Y^ù- ô^^(^o) se compose de deux termes dont le second est précisément 'ô^cp(a;o) que l'on vient de former, et le premier est la centième partie de la différence A^cp(a.'o)— A^(p(a::o), c'est-à-dire de la difîérence qui précède ^^^{x^) dans la série des A^ Enfin o'^ix^) se compose de trois termes; les deux derniers sont connus. L'un est la sixième partie de ^^©(ajo);

l'autre est la moitié de— ^"{x,), c'est-à-dire d'un terme déjà

calculé pour former ô^ Quant au troisième terme— cp'(^o), on remarquera qu'il est la dixième partie de h^\x^), et que l'on a :

Le second membre se compose de trois termes connus, et on le calculera facilement.

En résumé :

ô'cpCa^o) est la millième partie de A'cp(a?o) ;

^^?(^o) 6st la somme de ô^cp(iro) et de la centième partie du terme qui précède à^^^^ix^) dans la série des A^;

Scp(j;o) se compose de la sixième partie de S'cp(a;o), de la moitié du terme calculé pour obtenir S^cp(a;o) et de la dixième partie de l'expression

dont les trois termes sont connus.

239. Application de la méthode précédente. Considérons l'équation

Si nous substituons à x les valeurs — 1, 0, + 1, nous trouvons, pour le premier membre, les valeurs correspondantes 13, 7, 1, dont les différences premières sont — 6, —6, et la différence seconde 0. Quant à la différence troisième, on sait (256) qu'elle est éofale à 6. Nous formerons donc le tableau suivant :

nous en déduirons, par des additions successives, la table des valeurs de A^i/, Ai/, y, que j'inscris dans un nouveau tableau, afin que l'on aperçoive mieux, dans le précédent, les résultats qui servent de base à tous les autres.

\hj

A l'inspection des valeurs de y, on voit qu'il existe une racine

négative comprise entre — 3 et —4; et, comme la règle de Descartes apprend qu'il n'en existe qu'une, il n'y a pas lieu d'en chercher d'autres.

Quant aux racines positives, il peut en exister deux; mai^pour les découvrir, nous devons recourir à de nouvelles substitutions.

Si nous représentons graphiquement les résultats obtenus, nous obtenons la figure ci-contre.

La courbe, qui réunit ces points, ne devant être coupée qu'en trois points par une parallèle à la ligne des X, ne peut évidemment couper cette ligne qu'entre les points 1 et 2; c'est donc entre x=l et a;= 2, que nous devons substituer des valeurs distantes de 0,1.

Nous savons que, pour x=l, le premier nombre, que nous désignons par y, est lui-même égal à 1 ; on a, de plus, pour des

accroissements de x égaux à l'unité, Ai/=0, A^î/=12, A'y = 6, L'accroissement devenant égal à —, nous trouverons (2o8) :

o3î/ = 0,006, S^y= 0,066, 02/ = — 0,369; et nous pourrons, d'après ces valeurs, former le tableau suivant ;

ohj

On voit, à l'inspection de ce tableau, que y change de signe, quand x passe de la valeur 1,3 à la valeur 1,4 et de la valeur 1,6 à 1,7. Il y a donc deux racines positives, dont les valeurs, à un dixième près, sont 1,3 et 1,6.

260- Calcul ces racines a moins de 0,01. Pour obtenir une plus grande approximation, il faudra substituer à x des valeurs distantes de 0,01, entre 1,3 et 1,4, et entre 1,6 et 1,7. Ces substitutions se feront, comme les précédentes, au moyen des différences. On commencera par remarquer que, pour a; =1,3, on a y = 0,097; à partir de cette valeur, les différences relatives à un accroissement de x égal à 0,1, sont, comme on le voit par le tableau précédent :

Pour en déduire les valeurs des différences relatives à un ac-

croissement de x égal à 0,01, nous appliquerons les formules données plus haut; et nous trouverons :

^'«pC^o) = T(nm X A^^cpfaîo) = 0,000006, aViPo) = 0,000006 -f TM X 0,078 = 0,000786, S<p(rro)=0,000001 + 0,00039 + yL(— 0,153 — 0,039 — 0,001) = 0,018909;

et, comme on a, d'ailleurs, pour a;=l,3, 7/ = o,097, on peut former le tableau suivant :

id.

en des mêuie

.S formules, ]

es valeurs de

0,042637 0,026104 0,010375 —0,004544 —0,018647 —0,031928 —0,044381 —0,056000 era, au mo^

A^/, A'î/, b^y, qui correspondent à des accroissements de x égaux à 0,01, à partir de la valeur a; = 1,6; et l'on formera le tableau suivant :

Al/

t^Hj

id.

On voit, d'après ces tableaux, que les deux racines sont cornprises, l'une entre 1,35 et 1,36, l'autre entre 1,69 et 1,70. Pov calculer la plus grande, à un millième près, il faut substituer, entre 1,69 et 1,70, des valeurs distantes d'un millième. Ces valeurs, calculées par le môme procédé que les précédentes, résultent du tableau suivant :

A^ij

id.

On voit que y change de signe, lorsque x passe de la valeur 1,692 à 1,693. La racine est donc, à un millième près, égale à 1,692.

261. Emploi dune proportion pour obtenir la racine. Les tableaux précédents permettent de pousser l'approximation plus loin encore. Remarquons en effet, que, dans le dernier de ces tableaux, la ditTérence seconde est extrêmement petite. On peut donc, sans erreur sensible j la considérer comme nulle, et admettre, par suite, que les accroissements de y soient proportionnels à ceux de x. Nous pourrons alors obtenir la valeur de a?, pour laquelle y est nul, en procédant comme on le fait dans l'emploi des tables de logarithmes. Nous dirons :

Lorsque a? augmente de 0,001, et passe de la valeur 1,692 à la valeur 1,693, la variation de y est 0,001593669. Pour que la variation dey soit 0,0000341 12, c'est-à-dire pour que y devienne zéro, il faut donc que la variation 5 de a? satisfasse la proportion

d'où ron déduit :

en sorte que la racine est égale , approximativement , à 1,6920214.

On doit observer que la différence seconde, que nous avons considérée comme nulle, étant, en réalité, un peu plus grande que 0,00001, peut influer sur le septième des chiffres décimaux; et il n'y a, par conséquent, aucune raison pour le considérer comme exact.

On doit donc considérer la racine comme égale à 1,692021.

262. Autre application. Dans Texemple précédent, la détermination des intervalles, dans lesquels il convenait d'effectuer de nouvelles substitutions, n'a présenté aucune difficulté. Malheureusement il n*en est pas toujours ainsi. Nous en citerons un exemple.

1/ = 9aj»—24aj*+ 16a; — 0,001 = 0.

Si nous substituons à x les valeurs — 1, 0, 1, nous trouvons pour valeurs correspondantes de i/, —49,001, —0,001, 0,999, dont les différences sont 49, 1, et la différence seconde — 48. Quant à la différence troisième, elle est (256) égale à 54.

Nous pouvons, d'après cela, former le tableau suivant :

Aï/

51 Ton représente ces valeurs graphiquement, ainsi qu'on Ta indiqué (2^3), on voit clairement qu'il existe une racine entre a? = 0 et a?= 1 ; mais rien ne fait pressentir qu'il y en ait d'antres, et ne porte à essayer de nouvelles substitutions. Si, cependant, on substitue les valeurs distantes de 0,1 entre x=\ et 37 = 2, on tiouve que les valeurs des différences, relatives à a;==l et à un accroissement de x égal à 0,1, sont A7/ = — 0,461, A2y = 0,ll4, A*i/ = 0,054; ce qui permet de former le tableau suivant:

id.

En représentant graphiquement les résultats qui y sont contenus, l'on voit clairement que la courbe, qui passe par les points obtenus, ne peut couper la ligne des x qu'entre le point 1,3 et le point 1,4. Substituons donc, entre ces deux valeurs, des valeurs de X distantes de 0,01 : ces valeurs se calculeront, comme les précédentes, en formant d'abord, par les formules (2o8), les valeurs de Ay, A'y, et A^y qui correspondent à x= 1,3, et à des accroissements de la variable égaux à 0,0 1 : nous formerons ainsi le tableau suivant :

id.

Ce tableau prouve que l'une des racines est comprise entre 1,32 et 1,33, l'autre entre 1,34 et 1,35.

Alg. sp. B. 17

§ III. Méthode de Newton.

265. Exposé de la méthode. Lorsque Ton considère une fonction dans un intervalle très-peu considérable, on peut presque toujours, sans erreur sensible, regarder ses accroissements comme proportionnels à ceux de la variable, et les représenter par le produit de la dérivée de la fonction par raccroissement même de la variable. L'erreur, commise dans cette substitution, sera d'autant moindre, que Ton prendra des accroissements plus petits. Cette remarque s*applique à toutes les fonctions, mais nous la développerons seulement ici sur les fonctions algébriques entières, pour l'appliquer à la résolution des équations considérées dans ce chapitre.

Soient

une équation algébrique, et a une valeur approchée d'une racine, dont nous désignerons par (a + h) la valeur exacte ; on aura évidemment :

or, en négligeant les termes qui contiennent h à une puissance plus élevée que la première, on a, avec une approximation d'autant plus grande que h est plus petit :

l'équation [3] devient donc :

¥ia) + ¥'{a)h = 0;

F (û) et Ton en déduit : h = — :—-{',

la valeur approchée de la racine est, par conséquent :

En désignant celte valeur par 6, et appliquant de nouveau le même procédé, on trouvera une valeur plus approchée encore

et, en répétant celle opération plusieurs fois de suite, on obtiendra rapidement une très-grande approximation.

Il est impossible d'indiquer, d'une manière générale, et indépendamment de tout exemple particulier, la rapidité avec laquelle croissent les approximations; mais, dans chaque cas, on s'en forme facilement une idée en procédant comme nous allons le faire dans l'exemple suivant.