Application. Exemple I. Reprenons l'équation

nous avons trouvé que l'une de ses racines est, à 0,001 près, égale à 1,692; si nous la désignons par 1,692 4-/^, ou, pour abréger par {a -{-h), h sera plus petit que 0,001 ; et nous aurons:

^a+h) = ^a) + hr{a) + ^^r{a) + J^^^{a) = 0; par suite :

Or, pour a = 1,692, les coefficients de h* et de h^ sont, Tun plus petit que 3,2, l'autre moindre que l'unité ; en sorte que le second et le troisième terme du second membre sont moindres, l'un que 0,0000032, l'autre que 0,000000001; nous avons donc, à 4 millionièmes près,

"- F'(a)' Or on a, d'après le tableau (260), pour a;= 1,692 = ^î ;

F(a) = — 0,000034112; d'ailleurs F'(a) = 3a*— 7 = + 1,588592;

Maie, d'après le résultat que nous venons d'obtenir, la valeur £c= 1,692 était exacte, non-seulement jusqu'à 0,001, mais encore à 0,0001 près, puisque la quatrième décimale est un zéro; de plus, d'après le même résultat, pour a?= 1,6920, l'erreur h

est moindre que 0,000025, ou —— ; donc, le nombre obtenu

est approché à moins de rrr; ; et la valeur de x est, avec 8 décimales,

Nous avons donc une nouvelle valeur approchée de la racine

représentons sa valeur exacte par

nous aurons :

d'oii h!- ^W h'^r{h) i^^nh)

Or h' est plus petit que ■—§; par suite, h!^ est moindre que

ïTïïëJ s^^ coefficient, d'ailleurs, est moindre que 3,2. D'un autre

côté, h!^ est plus petit que ^-p^, et son coefficient est moindre que l'unité. Donc si l'on prend

Terreur commise sera de Tordre -p. Cet exemple suffit pour

donner une idée de la rapidité des approximations, et pour montrer comment on doit Tapprécier dans chaque cas.

26S. Exemple II. Soit donnée l'équation :

F(ic) = a?^ — 2a;— 5 = 0.

La première dérivée sera

P'(a7) = 3a;2 — 2; et, par suite, le terme de correction :

¥{x) 3ic«-

Première approximation. On trouve immédiatement, que la racine réelle de Téquation est comprise entre 2,0 et 2,1.

Posons donc a = 2,l ; et partons de cette valeur pour trouver la racine x avec plus d'exactitude. En remplaçant x par 2,1, dans les fonctions ¥{x) et T{x)j nous aurons :

F (a) = 0,061 et F'(a) = 11,23;

donc /i = — y^ = — 0,0543,

et, par suite, 6 = 2,095.

Deuxième approximation. Partant de cette nouvelle valeur approchée de la racine, nous aurons d'abord :

donc F(6) = 0,005 et F'(6) = 11,167;

et c=6 + /ii = 2,094 552.

L'erreur /i, étant moindre que —^ , et les coefficients de h^'^

. et V étant, le premier environ -, le second —, il s'ensuit que

Terreur de la nouvelle valeur de a? sera plus petite que — j.

Troisième approximation. Posons maintenant a?= 2,094 552; comme l'erreur de c est moindre que yi^, et que, de plus, les coefficients de V et de h^^ restent à très-peu près les mêmes, nous pourrons compter sur une approximation de -^^,

On a d'abord :

donc F(c)= 0,000005 786734,

et F(c)=: 11,161444 242112,

ce qui donne :

^- = --F(^=^-lI, 161444... =-Q>QQOQOO 518458,

et rf = c + /i2 = 2,094551 481542,

exacte à moins de r^,.

Quatrième approximation. Pour pousser encore plus loin l'approximation de la racine, posons :

0;== 2,094551 481542; nous aurons, pour les puissances de x ou de d:

d^ = 4,387145 908829 787166 697764, et d^ = 9,189102 963080 354769 507339;

et, par conséquent,

F(cO = — 0,000000 000003 645230 492661, f{d)= 11,161437 726489 3615...0

Donc, la valeur de h^ sera :

ou /ij = + 0,000000 000000 326591 482386:

on a donc pour la nouvelle valeur :

valeur exacte à moins de -r^^. Un nouveau calcul donnerait la

- , 1 racine, a moins de jrri»

266. Représentation graphique de la méthode de Newton. La méthode d'approximation, que nous venons d'exposer, peut se représenter graphiquement d'une manière très-simple, que nous croyons devoir indiquer ici, quoiqu'elle exige des notions de géométrie analytique.

La recherche des racines réelles de Téquation f{œ)^=0 revient à celle des points où la courbe, qui a pour équation y — f^x)^ coupe l'axe des x. En désignant par a une valeur approchée de la racine, et par f{a) la valeur correspondante de i/, l'équation de la tangente à la courbe yz=zf{x), au point dont les coordonnées sont a et f{a)^ est :

Cette tangente coupe l'axe des x en Un point dont Tabscisse x est évidemment

c'est-à-dire précisément égale à la valeur fournie par la méthode de Newton.

D'après cela, la méthode de Newton équivaut à la construction suivante :

Ayant la position approchée, P, du point 0 où une courbe coupe l'axe des X, pour en obtenir une autre plus approchée encore, on mène, au point.M de la courbe qui se projette en P, une tangente MT; et le point T est, en général, beau-

LIVKE IV.

coup plus près que P de l'intersection cherchée. En répétant la même construction, on obtiendra un nouveau point T' encore plus rapproché que le précédent ; et ainsi de suite.

Il peut arriver, cependant, qu'en appliquant la méthode de Newton, on obtienne une valeur de la racine moins approchée que celle que Ton a déjà : et il importe, pour opérer avec certitude, d'entourer la méthode de quelques précautions indispensables.

267. Cas qui peuvent se présenter dans l'application de LA méthode. Supposons que Ton ait trouvé deux nombres, a, h, {a<^b), qui comprennent une racine, et une seule, de l'équation f{x)=^0; de telle sorte que f(a) et f{b) soient de signes contraires. Supposons, en outre, que ces deux nombres a, b^ soient assez rapprochés, pour que, x variant depuis a jusqu'à 6, f'{x) et f'\x) ne changent pas de signe. Puisque f'{x) conserve son signe, f{a') est constamment croissant ou constamment décroissant; et, puisque /"''(a?) conserve le sien, f'{x) est également toujours croissant ou toujours décroissant. En d'autres termes, l'ordonnée de la courbe y = f{x) va toujours en augmentant ou toujours en diminuant; et l'angle, que la tangente à la courbe fait avec l'axe des x, varie aussi toujours, dans le même sens.

D'après cela, quatre cas peuvent se présenter. Si /'(a)>0, on

Fig. 1.

P TlX\ 1

XN 1

Fig. 2.

! \\lTO.

Fig. 3.

Fig. 4.

a f{b)<0; par suite, f{x) diminue, et f'{x) est constammeiiî

négatif. La courbe affecte alors l'une des deux premières formes ;, savoir, la première, si f"{x) est constamment positif, et la deuxième, si f{x) est constamment négatif.

Si, au contraire, f{a) est négatif, on a f{b)>0\ par suite, f{x) est constamment positif : et la courbe affecte alors l'une des deux dernières formes : la troisième, si f {x) est positif, et la quatrième, si f{x) est négatif.

268. Moyen d'opérer avec certitude. Gela posé, il est évident que, pour avoir avec certitude une valeur de x plus approchée que l'une des limites a, 6, qui la comprennent, il faut, dans le premier cas (fig. l), mener la tangente au point A, qui correspond à la limite inférieure a, c'est-à-dire, poser

il faut, dans le second cas, mener la tangente au point B, qui correspond à la limite supérieure 6, et poser

Il faut de même appliquer la formule [2] dans le troisième cas, et la formule [1] dans le quatrième.

On remarque d'ailleurs que, dans le premier et le quatrième cas, où l'on doit appliquer la formule [l], f{a) etf{a) sont de môme signe, tandis que fib) et f(b) sont de signes contraires; et que, dans le second et le troisième, où l'on doit appliquer la formule [2], f{b) et f"{b) sont aussi de même signe, tandis que f{a) et f"(a) sont de signes contraires. On conclut de là cette règle générale :

Lorsque l'on connaîtra deux limites, a, b, qui comprennent une seule racine de Vèquation f (x) = 0, et qui en sont ainsi, chacune, une valeur approchée, si ces deux limites sont assez rapprochées pour que, X variant de di à b, f'(x) et r(x) ne puissent changer de signe, on prendra la formule

et Von y remplacera z par celle des deux limites qui rendra f (z) et r(z) de même signe.

Le résultat sera une valeur de x plus approchée que la limite dont on se sera servi. En substituant cette valeur dans la même formule^ on obtiendra une nouvelle valeur encore plus approchée; et ainsi de suite.