RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES

270. But de ce chapitre. Nous nous bornerons à traiter, dans ce chapitre, quelques équations transcendantes, choisies parmi celles que Ton rencontre dans les applications des sciences mathématiques, et qui nous permettront d'exposer, d'une manière complète, les méthodes auxquelles les géomètres ont le plus souvent recours pour leur résolution.

§ I. Application de la théorie des différences à la résolution des équations transcendantes.

271. Méthode de résolution. La méthode, que nous appUquons aux deux exemples qui vont suivre, est très-fréquemment employée; elle consiste à substituer dans l'équation proposée des nombres équidistants, absolument comme dans le cas d'une équation algébrique. Lorsque l'on a trouvé deux substitutions qui donnent, dans le premier membre, des résultats de signes contraires, on conclut qu'il existe une racine entre les valeurs correspondantes de x; et dans l'intervalle on substitue des nombres plus rapprochés, qui permettent de resserrer la racine entre deux limites nouvelles et plus étroites. Cela fait, on considère le tableau qui comprend : 1° les valeurs attribuées à l'inconnue ; 2'^ les valeurs correspondantes du premier membre de l'équation ; 3° les différences des divers ordres qui s'en déduisent. S'il arrive que les différences d'un certain ordre, du troisième par exemple, soient négligeables, on en conclut que la fonction peut être remplacée, sans erreur sensible, dans l'intervalle considéré, par une fonction algébrique (du second degré, si la différence troisième est considérée comme nulle). La théorie de l'interpolation fera connaître cette fonction; et, en la substituant au premier membre de l'équation, on aura ramené le problème à la résolution d'une équation du second degré.

Si les différences du second ordre étaient négligeables, on ramènerait l'équation à une équation du premier degré ; et la

méthode reviendrait à remploi des parties proportionnelles, dont on fait usage, dans un cas analogue, en se servant des tables de logarithmes.