Exemple I. Soit donnée l'équation

équation qui se présente^ en mécaniquey dans V étude de la chaînette.

Nous voyons que cette équation ne change pas, lorsqu'on remplace x par ( — x)\ par conséquent, à chaque racine correspond une autre racine égale, mais de signe contraire.

Pour mieux étudier cette équation, posons :

yz=ze^

et |/ = 5,284a;;

nous aurons alors les équations de deux lignes, dont les points d'intersection ont pour abscisses les racines de l'équation.

La première de ces deux lignes AA' est une courbe transcendante, n'ayant qu'une seule branche infinie dans les deux sens. Cette branche, qui a pour asymptotes les lignes logarithmiques dont les équations sont :

x = \o^y et — a;=logi/,

passe par l'origine des coordonnées, qui est, en même temps, son centre.

La seconde de ces deux lignes BB' est une droite qui passe également par l'origine.

Comme les deux lignes passent par l'origine, l'équation est vérifiée par a? = 0. En outre, il est facile de voir qu'elles n'ont qu'une seule intersection du côté des x positifs ; par conséquent, l'équation a une racine positive que nous allons déterminer.

Mettons d'abord l'équation sous la forme.

et cherchons les valeurs que prend cette fonction pour des valeurs entières de la variable x. Nous aurons :

La racine est donc comprise entre 2 et 3. Si maintenant nous cherchons les valeurs de u, correspondant à a? = 2,5, 07 = 2,6, 0? = 2,7..., nous aurons;

et la racine est comprise entre 2,6 et 2,7.

En partageant cet intervalle en dix parties égales, et en calculant les valeurs intermédiaires de u avec leurs différences, nous aurons le tableau suivant :

Alt

^ht

Les différences du second ordre étant peu différentes, la fonction Uxy prise entre x = 2,64 et a? = 2,65, peut être considérée comme une fonction algébrique du second degré. On appliquera donc la formule dMnterpolation de Newton,

«. = «.+^A., + |i^'(^-l)AX

dans laquelle on devra poser

Uo=z— 0,00792, Awo = 0,08871, ^hi^ = 0,00140.

Comme x — x^ est la correction à faire à la valeur approchée

a; ^~^? sera le nombre de centièmes de cette correction. h

Donc, en nommant z le nombre de centièmes que Ton doit ajouter à 2,64 pour former la racine, on a :

et Uj, devant être nul, on en déduit :

rn y, z(z—l)^^u,

'■*-' ^u, 1.2 'Auo*

Pour résoudre cette équation du second degré, on peut profiler de ce que z est très-petit, pour négliger d'abord le second terme du second membre, et prendre comme première approximation :

Ai/o

Puis remplaçant z par cette valeur dans le second membre de l'équation [1], on trouve plus exactement :

par suite, la valeur de a; est ;