Exemple IL Résoudre l'équation
[1] a sin*a; = sin(a?— g),
équation importante qui se présente dans le calcul des orbites des planètes. Soient donnés :
log a = 0,5997582,
et ç=13'>40'5",01.
Gomme nos tables ordinaires ne donnent pas les valeurs des sinus naturels, mais celles de leurs logarithmes, nous prendrons les logarithmes vulgaires des deux uaembres de l'équation ; ce
qui du reste simplifiera beaucoup le calcul. L'équalion se présentera alors sous la forme
log a + 4 log sin a;= log sin (a? — ç), ou
[2] u„ = \oga-\- k log sin x — log sin {x—q) = 0.
Pour obtenir une première valeur approchée de oj, posons d'abord :
nous aurons : log sin a? =T,3734
4 log sin a? = 3,4936 log a =0,5998 et CMogsin(a; — g) — 10 = oo -- •
donc Ug.='\- co.
De la même manière, nous trouverons pour 0?= 14<>: log sin 07 = 1, 3837
■ 4 log sin a; =3,5348
log a = 0,5998
et CMog sin (a? — g) --10 = 2,2371
donc W;, = -{-0,37l7.
De cette diminution rapide de la fonction w«, nous pouvons conclure, avec quelque probabilité, que la valeur x= 140 est très-rapprochée de l'une des racines de l'équation.
En effet, on trouve par des substitutions directes :
W=W20', Wx = + 0,1096,
a?=L4«40', Wx== — 0,0277.
La racine est donc comprise entre 14030' et 14''40'. Partageant cet intervalle en deux parties égales, on -aura :
pour 0?= 14035', Wa,= +0,0005.
Par conséquent la racine est comprise entre lkP3b' et 14«40'; et elle est très-près du premier de ces deux nombres.
Pour obtenir une valeur plus approchée de x, cherchons, à 7 décimales, les valeurs de la fonction U;, correspondant aux valeurs de rc, de dix en dix secondes, depuis x =^ 14035'; et formons le tableau suivant, après avoir pris les différences successives :
à^ii
Alt
On voit que, pour des valeurs de x équidistantes et assez voisines, les différences secondes de la fonction u„ sont à peu près égales; donc le premier membre de l'équation proposée, dans les limites restreintes que nous lui avons tracées, peut être considéré comme une fonction algébrique du second degré.
En procédant comme dans le cas précédent, on trouve :
et en substituant les valeurs de Wq? ^^o et ^Hiq contenues dans le tableau, savoir :
Wo=: + 0,000 4870, .
nous aurons !
ou
Awo=— 0,000 9924,
