zzzO

et, en prenant la plus petite racine de cette équation du second degré (la plus grande surpasserait 596), on a :

Dans ce calcul, nous avons pris pour unité d'intervalle l'arc de

Alg. sp. B. 18

dix secondes; la correction sera donc = 4'',902, et la racine, exacte aux millièmes de secondes, est :

Si nous voulons vérifier ce résultat, nous trouverons :

a; — ç=54'59'',892, ]ogsina;=:T,401 07445

4logsina;= 3,604 2978

]oga = 0,599 7582

et CMogsin(a?~<7)-~ 10=^ 1,795 9440 donc u^:= 0;

le résultat obtenu est exact.

Mais Téquation [1] étant une équation transcendante, outre cette première racine réelle, il peut y en avoir encore une ou plusieurs autres, ou même une infinité.

En effet, lorsqu'on continue les recherches, on trouve encore sur la première circonférence du cercle, trois autres racines

Xi = 320 2'28",

ir2=137027'59^

de plus, à chacune de ces quatre valeurs de ic, correspondent une infinité d'autres, positives ou négatives, et qui sont toutes comprises dans l'expression générale

a? + /ex 360%

h étant un nombre entier quelconque, positif ou négafif.

§ II. Résolution des équations transcendantes par la méthode des substitutions successives.

274. MÉTHODE DES SUBSTITUTIONS SUCCESSIVES. La méthodc, que nous appliquerons à l'exemple qui va suivre, est d'un emploi très- commode dans tous les cas où la nature du problème permet de l'adopter. Voici, d'abord , d'une manière générale, le principe sur lequel elle repose.

Soit x = (^{x)

une équation (mise, comme on voit, sous une forme particulière) ; et supposons que l'on ait trouvé une valeur approchée a de sa racine : on aura, par suite, approximativement :

soit h cette valeur; en l'adoptant, on trouvera :

soit c cette troisième valeur; on en déduira :

a; = cp (c) = d,

et la série des nombres a, fc, c, <:^...,qui peut se continuer indéfiniment, convergera, quelquefois, très-rapidement vers la véritable racine.

Pour apprécier la rapidité de cette convergence, nommons (a + /i) la valeur exacte de la racine; nous aurons :

a-\-h=zo{a-\-h).

Or, la fraction ^{a + h)~^[a)

lï

diffère peu de la dérivée <p' (a). On a donc, en désignant cette fraction par cp' {a) + e :

c^{a-\-h) = h^' (a) + cp (a) + he

donc a + /i = /icp'(a) + (p(a) + /i£

et, par suite, (a + /i) — <p (a) = /zcp' {a) +hô

l'erreur commise, en prenant ? (a) pour racine, est donc, â trèspeu près, /icp' (a), c'est-à-d'ire le produit de l'erreur précédente h par cp' (a). On voit que Terreur diminue, si cp' (a) est moindre que 1 ; dans le cas contraire, la méthode n'est pas applicable.