Exemple. Déterminer les racinjs réelles de l'équation

Il est évident que celle équation ne peut pas avoir de racines négatives, parce que, pour un x négatif, le radical deviendrait imaginaire; nous n'avons donc qu'à nous occuper de la recherche des racines positives.

Le calcul deviendra plus simple, si nous prenons les logarithmes vulgaires des deux membres; l'équation devient alors :

[1] a; = |log a? + 5,5178238...;

elle est ainsi sous la forme qui permet d'appUquer la méthode.

En posant i/ = a;, et ^ = iloga; + 5,5178238,

nous aurons deux lignes, dont les abscisses des points d'intersection représentent les racines de l'équation.

La première est une droite, bissectrice de l'angle des coordonnées orthogonales; la seconde est une ligne logarithmique, formée par une seule branche infinie, et ayant pour asymptote l'axe des y. Les deux lignes se coupent en deux points ; le premier trèsvoisin de l'origine; l'abscisse du second est comprise entre 5 et 6. Il ne peut y avoir d'autres points de rencontre; et, par suite, l'équation n'a que deux racines positives.

Comme la valeur du terme connu de l'équalion [1] est près de 6, posons, en premier lieu : a; = 6, et substituons cette valeur dans le second membre de l'équation [1] ; nous aurons alors une valeur de a? plus rapprochée que la première,

• a; = 41og 6 + 5,5178 = 5,9069.

En substituant celte seconde valeur de x dans l'équation [1], nous aurons :

ijog 5,9069 + 5,517 8238 =5,903 5036,

Poursuivant ce procédé , nous obtiendrons pour la troisième substitution :

a? = ilog 5,903 5036 + 5,517 8238 = 5,903 3787;

ensuite : a; = ilog 5,903 3787 + 5,517 8238 = 5,903 3741,

puis : a; = ilog 5,903 3741 +5,517 8238,

ou a;= 5,903 3740.

Le dernier résultat est exact à sept décimales; car on trouve :

loga; = log 5,903 3740 = 0,771 1004

donc : ^loga; = 0,385 5502

5,517 8238 d'où ilog 07 + 5,5178. ... = 5,903 3740=07.

Si nous reprenons les considérations générales, par lesquelles nous avons commencé ce paragraphe, nous verrons, en les appliquant à l'exemple actuel, que l'on a :

cp(ic)=| logo; +5,5178238,

Or, X étant à peu près égal à 6, cette valeur de (f'{x) est à peu près -2ij; et, par suite, chaque valeur obtenue est environ vingt fols plus approchée que la précédente.

Il nous reste encore à évaluer la seconde racine de l'équation

[1] ir — ilogo; — 5,517 8238 = 0,

racine qui est comprise entre 0 et 1. Gomme x est nécessairement une fraction très-petite, nous pouvons négliger le premier terme de l'équation, qui deviendra aloi's :

iloga; = — 5,517 8238,

log a; = — 11,035 6476

d'où l'on tire a; = 0,00000 00000 0921 r97, valeur exacte à dix-sept décimales.

§ III. Résolution des équations transcendantes par la méthode de Newton.

276. Exposé de la méthode. La méthode de Newton s'applique, sans modification, à la recherche des racines d'une équation transcendante, pourvu que l'on en connaisse toutefois une première valeur approchée.

Soit, en effet,

une équation ; et soit n une valeur approchée de la racine, dont nous représenterons la valeur exacte par (a + /i).

On aur^ : F (a + /i) = 0 ;

. , , F(a + h)-¥(a) mais le rapport — ^^ — î— ^ ^

diffère peu de F' (a) ; et l'on a, par conséquent, en désignant par 6 un nombre très-petit :

—ij (a) + £;

d'où Ton déduit, en remarquant que ¥(a-\-h) est nul

et — r^H est, par suite, une valeur approchée de h,