Exemple I. Soit donnée l'équation

Substituons d'abord à la variable x les nomores naturels ; nous aurons :

On en conclut que notre équation n'a qu'une seule racine réelle, et que cette racine est comprise entre 3 et 4. Le calcul devient beaucoup plus simple, lorsque , au lieu de

traiter l'équation sous la forme donnée [l], nous prenons les logarithmes vulgaires des deux membres ; nous aurons alors :

a?:loga;=2.

Ainsi donc nous aurons :

F (a;) = a; logo? — 2; d'où F' (x) = log a; + log" ^ *

où e désigne la base des logarithmes népériens.

Ces valeurs de F (a?) et de F' (a;), substituées dans la formule générale, qui exprime la correction fournie par la méthode de Newton, donneront pour h.

, ¥ (x) x]o<xx — 2 2 — a^loga;

F' {x) log X + log e log e + log x'

Première approximation. Nous avons trouvé ci -dessus, que la valeur de x est comprise entre 3 et 4. Posons d'abord a; = 3, 5, et calculons à 3 décimales. Nous aurons alors :

log e = 0,434

log a; ==0,544

log a; = 0,544

d'où

a;loga;=l,904

log e + log a; = 0,978;

et 2-

-a;Ioga;=:0,096;

donc

°'°^' = 0,098; n Q7ft ^,^^^ ,

et la valeur approchée de x sera : •*

Deuxième approximation. Nous avons :

a; = 3,598 log 6 = 0,434 2945

donc log 37 = 0,556 0612 log a; = 0,556 0612

a; log x = 2,000 7082, log e + iog x = 0,990 3557;

eta;loga;— 2 = 0,000 7082;

280 LlVhE IV.

et a; = 3,598 — 0,00071 510

ou a; =3,597 2849,

Troisième approximation. Pour avoir une valeur de x encore plus approchée, posons maintenant :

0^ = 3,597 285; nous aurons :

log 07 = 0,5559404378 logo;= 5, 55594 04378

07logo;= 1,99909 997677 lO£-e = 0,43429 44819

d'où OJlogo;— 2 = 0,00000 002323, logo; + loge= 0,9^023 49197,

ce qui donne pour valeur de h,

et la valeur de o?, exacte à dix décimales, est :