Exemple II. Résoudre l'équation
07 — £sino? = a;
etsoieiu e = 0,245 31615,
log£= 1,389 7262,
Cette équation se présente dans l'étude du mouvement elliptique des planètes, lorsqu'on cherche la position de V astre dans son orbite, à une époque donnée.
Avant de passer à la résolution de cette équation, nous allons montrer comment on réduit en degrés un arc de cercle exprimé en parties de rayons, et réciproquement.
On sait que, pour le rayon = 1, la demi-circonférence du cercle, ou 18 O"», est égale à
7r = 3,14159 26535 89793 23846...; donc Tare égal au rayon sera :
C'est donc par ce dernier nombre quil faudra multiplier la longueur d'un arc donné en parties du rayon, pour le ramener à la mesure ordinaire des arcs; et réciproquement, en divisant k nombre de secondes, que contient un arc de cercle^ par 206264,806247...., on obtient sa longueur en parties du rayon.
Si, par exemple, nous voulions convertir en parties du rayon rarcdecerclea = 3290 44'27",66, nous aurions :
loga=6,074 4755, log 206264", 8 = 5,314 4251,
donc loga?= 0,760 0504;
et de là, en parties du rayon,
rr = 5,755 067;
en sorte que l'arc de 329° 44' 27", 66 vaut environ 5 | fois le rayon.
On donne quelquefois celte règle de conversion sous une autre forme, équivalente à la première. Désignons par a la longueur d'un arc en parties du rayon, et par a le nombre de secondes qu'il renferme : si l'on divise a par la longueur de l'arc d'une seconde en parties du rayon, on a évidemment pour quotient a .
Ainsi " = a. Mais l'arc d'une seconde et son sinus sont arc 1"
égaux à moins de j-^^ ; donc ;
/, et a =: a sin 1",
sin 1
Ainsi, pour convertir en secondes un arc exprimé en parties du rayon, il faut diviser sa longueur par sinl''; et réciproquement, pour exprimer en parties du rayon un arc évalué en degrés, minutes et secondes, il faut le convertir en secondes, et multiplier le résultat par sin !'■ .
Nous n'avons pas besoin de dire que le logarithme de sin 1" se trouve à la première page des tables.
Ceci posé, déterminons d'abord le quadrant du cercle, qui comprend l'arc x; et pour cela, substituons à x, dans l'expression
F(ir)=^^ — £sina;— 5,755067,
les valeurs linéaires de 0% 90», iSQo, 270», 390o. Le résultat sera :
a; = 0° £Sina; = 0 p (a?) = —5,75...
a; = 90'* = | esina; = 0,25 F (a?) = — 4,43...
a7=180° = 7c esina; = 0 F(a;) = — 2,61
a; = 270''= -^ Esina7 = — 0,15 F(a;)=— 0,79
ic=^360«=27r esina7 = 0 F(a;)=+0,53
Donc l'arc x est compris entre 270» et 360", ce qui était facile à prévoir ; et, comme son sinus est négatif, x est plus petit que
Première approximation, par parties proportionnelles. Posons d'abord 07=320% et calculons la valeur correspondante de F(2).Pour réduire l'expression en degrés, minutes et secondes, nous multiplierons, d'après la règle, le terme e sina? par 206264,8..., ou nous le diviserons par sin \", et nous aurons :
sin x = sin 320" = — sin 40" ;
ou log( — sina7)= 1,8081,
log£=:l,3897,
log 206264= 5,3144,
iog(—esinrcX 206264") = 4,5122;
donc 20ô264''X£sina;=— 32525" = — 9''2'5''';
et de là : 07=320^
— esina; = +9''2'5",
Donc: ¥{x) = — 42' 23" =— 2543";
l'arc de 320» est donc trop petit.
De la même manière, on obtiendrait pour a?— 330o,
donc l'arc rr = 330" est trop grand, et la racine Ce l'équation est comprise entre 320 et 330**.
La différence des deux valeurs,
et F(330o) =+26232'^,
étant égale à 28775", pour un intervalle de 10^ nous pourrons admettre comme valeur approchée de a;,
Application de la méthode de Newton. On a : F(a;) = a? — ssiniT— 329''44'27^06, F'(a;)=l — ecosic.
Prenons la valeur approchée de x comme point de départ. Soient c = 320°53' et x = a-\-h;
F(a) a — esina — 329''44'27^66 nous aurons : h= — ~-^ = — .
F (a) 1 — £C0Sa
log(— sina)=T,799 9618 logCOSa = î,889 7850
log£ = ï,389 7262 loge = 1,389 7262
log206264 = 5,314 4251 log(£COSa) =î,279 5112
log(— esina) = 4,504 1129 eCOSa = 0,190 3317
d'où — esina = 3l923'',67 F'(a) = 2 —eCOSa =0,809 6683.
Donc
a= 320«53' — esina = -f 8°52'3'',67 — a = — 329044'27",66
et
Mais
F(oc) 36",01 F'(a) 0,8096683~ ^^ ,^^"'
Donc a7=320'^53'— 44''48 = 320«52'15''52,
valeur exacte aux centièmes de secondes. Vérification du rcsulint obtenu: Nous avons trouvé :
donc sina;=:— sin39^7'44",48;
et log(~sina;)=r,800 0767
log£ = 1~389 7262
log206264''=r 5,314 4251
Ioy(— esina;) ==4,504 2280
P'ov — esina;=31932'', 14=:8052'12",14,
Or , x= 320"^52'15';52
— esina;=+ 8052'12'', 14
riorame on voit, la méthode de Newton nous a donné, par un seul calcul, la valeur exacte de l'arc x.
g IV. Résolution de l'équation cc = tang x.
Cette équation se présente dans la théorie de la chaleur j et dans la théorie des vibrations des corps élastiques.
279. Considérations générales, ^l" Comme l'équation ne change pas lorsqu'on y remplace o? par (— x), il en résulte qu'à chnque racine correspond une autre racine égale, mais de signe
contraire. Nous ne nous occuperons donc que de la recherche des racines positives.
2° Lorsque x est positif, il faut que la tangente le soit également, pour que {x — tanga;) devienne nul. Les arcs x sont donc terminés dans le 1^% le 3% le 5^.. quadrant du cercle, et leurs valeurs sont comprises entre u-k et (?i + ^)7r; tt étant égal à la demi-circonférence du cercle ou à 180% et n étant un nombre quelconque, entier et positif.
3° Dans chacun de ces quadrants, l'arc x va en augmentant depuis a; = n TT jusqu'à a; =:(?i + ^)Tr; la tangente augmente d'une manière continue depuis zéro jusqu'à l'inllni; par conséquent, il y a dans chacun des quadrants indiqués une racine réelle, et il n'y en a qu'une seule ; et l'équation proposée admet une infinité de racines positives et négatives.
4° L'équation étant vérifiée par.a? = 0, la racine correspondante au premier quadrant est zéro ; pour toutes les autres valeurs de 0?, comprises dans le premier quadrant, on sait que tanga;>>arc a?.
5* Si l'on représente pai (?i7î f a^) id ii''« racine («„ étant
moindre que ^ ) , il est facile de voir, que cet arc «„ est d'autant
plus grand que n est plus grand.
Soit, en effet, n'Tr + «n' la solution qui correspond à un nombre n' supérieur à 7i, on a :
tang (?nr + «„) = tang an n^riTc -j- ««,
tang {n'iz -|- a„') = tang «„- = n'iz + «n' ;
or, n' étant plus grand que n, la différence n'-rr +««- — nw — a„ ou {n' — n)-K-\-a.n' — «n est positive; puisque {n' — n)-!z est au moins égal à TT ; donc [n'-K + «n ) surpasse {mz + a„) ; donc tang a„' est plus grand que tanga„; et, par suite, «„• est plus grand que a„, comme nous l'avions annoncé.
6** Si la valeur approchée de la racine est trop grande, l'arc est plus petit que la tangente; si, au contraire, la valeur approchée de X est trop petite, l'arc est plus grand que la tangente,
Car, dans chaque quadrant, {x — tango?) est positif, tant que la valeur donnée à x est inférieure à la racine ; et devient négative dès que cette valeur surpasse la racine.
280. Calcul de la première racine. Ceci posé, déterminons la plus petite des racines, celle qui est terminée dans le troisième quadrant du cercle. On sait que tang 180^ = 0? tang 2250 = 1, et tang 270<> = 00 ; or, x étant plus grand que tt, on a:
arc 225«> tang 225% arc270«<tang270o ;
Tare X est donc renfermé entre 225° et 270%
Cherchons maintenant les valeurs linéaires des arc compris entre 250° et 260^ et de leurs tangentes respectives (on trouvera ces valeurs, qui sont souvent fort utiles, dans une table, à la fin du volume) ; nous aurons :
arc 250° =4,363,- tang 250^' = 2,747,
arc 2520 =4,398, tang 252o = 3,078,
arc 2540 = 4,433, tang 254« = 3,487,
arc 2560 = 4,468, tang 256° = 4,011,
arc 2570 = 4,485, tang 2570 =4,331,
arc 258° = 4,503, tang 258° — 4,705,
On voit immédiatement que l'arc en question est compris entre 257" et 258% ou que la valeur de a?, exprimée en parties du rayon, est entre 4,485 et 4,503.
Nous admettrons donc, pour première valeur approchée :
Première approximation par la méthode de Newton. Nous
avons l'équation :
F(a?) = a? — tang oj = 0 ;
sa première dérivée est, par suite:
et le terme de correction sera :
, F (x) X — fanof x
F{x) tangua;
De plus, nous supposerons a; = 4,503.
Nous aurons alors : x= 4,503
tans- a; = 4,705
et o; — tanga? = — 0,202.
la valeur approchée de x sera donc :
Xi = 4,494.
Deuxième approximation. Posons x^ =4,494, et calculons à sept décimales. Pour transformer l'arc x en degrés, nous nous servirons de la table de réduction contenue dans les tables de Gallet, pages 214,215 et 216.
3,49065 850 = 200'* 1,00334 15Ô 0,99483 767= hl^
donc
On en con
dut :
log tangrri = 0,653 7870,
et
tanga'i = 4,505 956.
Par suite,
tanga^i — iri = 0,011 956
log
[laiig 0^1 — iCi] = 2,077 5859 logtang2a'i = !l,307 5740
log (—/t,) = 4,770 0119
d'où
ce qui donne une nouvelle valeur approchée de a?, 0:2 = 4,493411.
Comme la valeur de Xi était exacte aux millièmes, Terreur de Xi sera de l'ordre de —g.
Troisième approximation. Le dernier calcul nous a donné, avec une approximation de —g environ,
a?2=tang 372= 4,49341.
Pour obtenir une valeur de x encore plus rapprochée, au lieu de prendre 5?2= 4,49341, posons:
tangiC2 = ^,^9341 ;
ce qui facilitera de beaucoup le calcul. Nous avons déjà trouvé. (172):
arc cotang 4,49341 = 0,21897 94968 94113;
de plus, nous avons :
arc tang a?= 270^ — arc cotang x;
mais 270'*= — = 4,71238 89803 84690
et arc cotang 4,49341 = 0,21897 94968 94113;
donc a;2=arctang4,49341 = 4,49340 94834 90577
et tangrr2= 4,49341
d'où VdUgX2 — X2= 0,00000 05165 09423;
mais tang^ x^ — 20,19073 34281 ;
x^\ax)gx 0,00000,05165 0942 "^^"^ '''- tangua; ~~ 20, 19073 3428Î '
ou /i2 = — 0,00000 00255 815...
Nous avons trouvé ci-dessus :
.Ta = 4,49340 94834 906;
DES DIFFÉRKNCES. . 289
donc a?3=2srr2 + /la = 4,493409 457909,
valeur exacte à douze décimales; ce nombre, transformé en degrés et parties de degré, devient :
Les tables de logarithmes de Vlacq, tables à dix décimales, donnent :
' tangaî3 = 4,^34 09458;
ce qui s'accorde parfaitement avec le résultat obtenu.
