m.l.2....(m— y) .a^^^-f-^cT

ou, en supprimant le facteur commun 1.2..., (m — y)> et remplaçant (m—Y— «) P^ï" P>

et le développement se compose de tous les termes analogues, qui correspondent à toutes les valeurs de a, p, y, dont la somme soit égale à m.

52. Remarque. On trouvera sans peine, par un procédé tout à fait analogue, que le développement de {a+b + c + d^ a pour terme général

L^^J 1.2....a.l.2....fi.l.2....Y..2....S

et se compose de tous les termes analogues, qui correspondent à toutes les valeurs de a, p, y, 5, dont la somme soit égale à m. On doit observer que, si Ton veut faire représenter à ce terme général tous les termes du développement, sans exception, i faut convenir que, pour a=0, on prendra le produit 1 .2.3....a=l La même remarque s'applique à la formule précédente.

$ V. Limite de ( 1 -\ — J , quand m croît indéfiniment.

S3. Théorèmes sur les limites. P Lorsqu'une quantité variable A tend vers une limite I, le produit pA de cette quantité par un nombre fini p tend vers la limite pi. Car, pour rendre la différence (pk — pi) plus petite, en valeur absolue, qu'une quantité donnée «, il suffit de rendre la différence (A — /) plus petite

que-; ce qui est toujours possible, puisque (A — l) tend vers

zéro. *

2"' Si plusieurs quantités variables, Ai, As, ... . An, en nombre fini n, tendent simultanément vers des limites li, Ij, .... ]„, la limite de leur somme est égale à la somme de leurs limites. En effet, si Ton pose :

Ai=/i+ai, Â9 = ?s+as, .... A„ = /„-j-a„,

on aura :

Ai+A,+ ...+A.= y, + Z,+ ... + /J + (a, + a,+ .. . + «„).

Or les quantités ai, ag, . . . a„ tendent vers zéro, par hypothèse . donc leur somme («i+as- •• +an), toujours inférieure, en valeur absolue, à n fois la plus grande d'entre elles, tend aussi vers zéro (1°). Donc

lim(A,+A,+ ....+A„) = /^+/,.. ..+;„.

Mais, si le nombre n des quantités variables augmentait indéfiniment, on ne pourrait plus affirmer la proposition. Considérons, par exemple, la somme des n quantités- +-+ - + ....

+ -. Si n croît indéfiniment, chacune de ces quanUtés tend vers

zéro ; et leur somme, au lieu d'avoir zéro pour limite, est évidemment toujours égale à a.

3* La limite du produit des n quantités variables Aj; A2, Ag ...An, est égale au produit ^e leurs limites. En effet, on a :

A,A,....A„=(/i+«0ft+«2)....(^n + «„).

Et ce produit de n facteurs binômes renferme (1, 42) d'abord

le produit des limites {kl^ /«), puis une suite de termes

dont chacun contient en facteur au moins une des quantités ai, «2, .. . a„. Or chacun de ces termes, produit d'une quantité fixe par une quantité qui tend vers zéro, tend aussi vers zéro (1°); et comme leur nombre est limité, leur somme a pour hmite zéro (2°). Donc

lim. AiAj.... An=/l^2-...^n.

Dans ce cas encore, le raisonnement suppose essentiellement que le nombre des quantités variables reste fini.

54. L'expression ( I -] — ] a une limite quand m croît INDÉFINIMENT. L'cxpressiou ( 1 -] — j , dans le cas où m est

entier^ un produit de m facteurs égaux à f 1 H — j : quand m

croît indéfiniment, chacun de ces facteurs a pour limite l'unité ; mais on ne peut pas en conclure que l|i limite du produit est égale à l'unité; car le nombre des facteurs croît indéfiniment.

Pour trouver que cette limite existe, développons ( 1 -| — j

suivant la formule du binôme : nous aurons :

Comme, dans chaque terme, le nombre des facteurs du numé-

rateur est égal au nombre des facteurs m qui entrent comme diviseurs, nous pouvons écrire :

' 1 . 2 Mais on a évidemment :

mm — 1 m— 2 ??i — ?i+l m* m ' m **' m

\ m/\ mj \ m J

par suite :

Cela posé, comparons ce développement à la série convergente dont la limite est e :

Chaque terme du développement est, à partir du troisième, inférieur au terme correspondant de la série, puisque son numérateur est moindre que l'unité, et que les dénominateurs sont les mêmes. D'ailleurs les termes du développement sont en nombre limité (??7 + l), tandis que ceux de la série sont en

nombre infini. Il en résulte que Texpression i\-\ — ) est,

quelque grand que soit m, inférieure à e : cette expression, qui augmente avec m, a donc, lorsque m croît indéfuiiment, une limite qui ne peut être qu'inférieure ou égale à e. Nous allons prouver que cette limite est égale à c.