RÉSOLUTION GÉNÉRALE DE l'équ^tion. L'équation
[1] X — tanga; = 0,
qui se distingue par la rapidité avec laquelle on arrive à la détermination nette et complète de ses racines, est, en outre, remarquable par la facilité avec laquelle elle se prête à une résolution générale, analogue à celle des équations algébriques du second degré.
En effet, il suffît de trois ou quatre substitutions successives pour obtenir Texpression générale de toutes ces racmes avec une grande précision.
Nous avons déjà établi (page 285), que la nT" racine est plus
petite que (n -j- - j tt, ou que (2n + 1) |. Posons donc :
équation dans laquelle 6 désigne la dislance de l'extrémité de l'arc X à celle du quadrant où il se termine. Nous aurons alors:
tanga;=tang (2n-f- 1)^ — M =colange,
d'où tang6=^^^^ ,
tango;
mais nous avons également, d'après l'équation proposée :
tanga;=:a;; \lg. sp. B. 19
donc ' tang6=l,
ce
«t [2] (2n+l)^z=.x + arc. tang - .
Or - est plus petit que 1 : on peut donc développer en série cette dernière expression; et Ton a:
d'où, en désignant (2n+ 1) ? par a :
ron 1,11.1
G*est de cette équation que nous tirerons la valeur de x en fonction de a.
Négligeons d'abord le terme - et les termes suivants : nous
aurons x= a; si nous substituons cette valeur à x dans le second membre de Téqua-tion [3], nous aurons, en négligeant les 3" .. . puissances :
Une nouvelle substitution, avec suppression des 5" puissances, donnera :
Car la division donne :
1 a * ar * a'
DES DlFFËftENCES. 291
En substituant celte valeur de x dans le second membre de l'équation [3], en effectuant les divisions et en négligeant les 7^5 puissances, nous aurons une valeur de x encore plus approchée :
Enfin, pour obtenir une nouvelle approximation, remplaçons x par cette dernière valeur, effectuons les divisions et négligeons les 9^' puissances ; le résultat sera :
ou
5ia-i^^'^^^
ou
Un nouveau calcul donnerait le 6" terme de la série, qui est
En remplaçant, dans cette formule, a par sa valeur (2n+ 1) -,. et Tz par 3,14159 26...., l'équation se présentera sous la forme :
[41 a;zz=(2n + l).^— ,, \ ,. X0,63661 97723 67581 ^ -• ^ 2 ( 2n-j- 1}
(2îi+l)^^ ' (2n+l)
Pour avoir immédiatement la valeur de la 1", de la 2% de la 3«. . . .
racine, on n'aurait qu*à substituer à n les nombres 1, 2, 3
A mesure que le nombre n augmente , le nombre des termes diminue pour un même degré d'exactitude; et la valeur de x finit par se réduire au premier terme
lorsque n devient infini.
Si, par exemple, on voulait obtenir, à sept décimales, la 10« racine, il suffirait des quatre premiers termes; on aurait :
a; = 21 X9Û« = 32,986 72286 (voy. Callet, p. 214)
— 0,00000002 OU a; =32,956 3890.
Le calcul devient encore plus simple , lorsqu'on convertit les coefficients de Téquation [2] en degrés, minutes et secondes; opération qui serait extrêmement simple à l'aide de la table de réduction de Callet.
On obtient alors :
(2n+l)^ {2n + iy (271+1)-
Calculant, d'après cette formule, la 5« racine de l'équation, on aura :
w = 5, 2n + l = ll.
Il suffira d'évaluer les quatre premiers termes, et encore le
quatrième n'influe-t-il que sur les fractions de secondes. On aura :
OU ir==llX900 — 3M9'24''26.
Voici les valeurs des onze premières racines :
X,— 3X90» — 12«32'48'', X^— 5X90»— 7» 22' 32", 0-3= 7X90»— 5» 14' 22', X^— 9X90»— 4» 3' 59", iC5=ll X90»— 3» 19' 24", a;6 = 13X90»— 2»48'37'^ a;7= 15X90»— 2» 26' 5", ir8 = 17X90»— 2» 8'51", ir9 = 19X90»— 1»55'16".
RÉSUMÉ
270. But de ce chapitre. — 271. Indication de la méthode des différences. — 272, 273. Exemples. — 274. Indication de la méthode des substitutions successives. — 27o. Exemple. — 276. Indication de la méthode de Newton. — 277, 278. Exemples. — 279. Considérations générales relatives à la résolution de l'équation a;=:tang£D. — 280. Calcul de la première racine. — 281. Résolution générale de l'équation a; = tango;.
LIVKE IV
EXERCICES
I. Étant donné un quadrant de cercle BCD, trouver un arc BM, tel que le secteur BCM soit égal au triangle CDR formé par le rayon CD, la cosécante CR et la cotangente DR.
Soit l'arcBM^aj; l'équation à résoudre sera:
X = COtg X.
Et l'on trouvera:
X = cotanga; =0,860 3334.
II. Trouver un secteur BCM, qui soit la moitié du triangle CET formé par le rayon CB, la tangente BT et la sécante CT
Équation Solution :
2a;=:tanga;.
2a; = tanga;=2,331122.
III. Partager le demi-cercle ADMB en deux parties équivalentes, par une corde ÂM menée à l'extrémité du diamètre.
On cherche l'angle MCD = (f.
Équation: ç^cosç.
Solution: <p=.42«20'4r',25,
cp=coscp =0,739 0851.
IV. Étant donné un quadrant de cercle pCD, mener une perpendiculaire MP au rayon CB, qui partage l'aire du quadrant en deux parties égaies.
Soit l'arc BM = x-, on obtient l'équation :
2a;~- = sin2a?.
En posant:
l'équation deviendra Solution de rexcrcice 111.
js=cos;s.
V. Déterminer le secteur du cercle ACM, de manière que la corde AM le partage en deux parties équivalentes, c'est-à-dire que le triangle ACM soit égal au segment ADM.
Soit Parc AM =;s ; l'équation à résoudre sera :
z = 2 sin X.
Solution : H = 108» 36' 13", 76,
*=2sinjf = 1,895 4942.
VI. Mener d'un point delà circonférence deux cordes AM et AN, telles qu'elles divisent l'aiie du cercle en trois parties égales.
Soit BCM = a;; on aura l'équation :
Solution: a; = 30043' 33^0,
VII. Déterminer, dans le quadrant BCD, l'arc BM, de manière que cet arc soit égal à la corde BM prolongée jusqu'au point F.
Équation : xsin- = l.
Solution: a; = 84''53'38",83,
