DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES
282. But de ce chapitre. Lorsque les deux termes d'une fraction sont des polynômes entiers par rapport à une même lettre x, on peut, en effectuant leur division autant que possible, décomposer celle fraction en un polynôme entier par rapport à celte lettre, et en une autre fraction dont le numérateur soit de degré moindre que le dénominateur. Le but de ce chapitre est de montrer, comment cette fraction peut elle-même être décomposée en d'autres plus simples. Nous supposerons seulement qu'on ait résolu l'équation obtenue en égalant le dénominateur à zéro, et qu'on en connaisse toutes les racines. Nous supposerons, en outre, que les deux termes de la fraction n'ont aucun facteur commun.
§ L Cas des racines inégales.
285. Forme de la fraction dans ce cas. Soit la fraction rationnelle /
où /{x) désigne un polynôme en Xj de degré moindre que F(x), Soient a, d, c;, . . . . , A;, i les racines de l'équation
Nous supposerons d'abord qu'ellessoient toutes inégales. Nous
allons faire voir que, dans ce cas, on peut toujours mettre la fraction [1] sous la forme :
A, B, C, , K, L désignant des constantes. Pour le démontrer,
nous considérerons A, B, G, . .. .K, L, comme des coeflicienls indéterminés, dont nous déterminerons la valeur; puis nous vérifierons qu'ils rendent l'équation [2] identique.
L'équation [2], si on multiplie ses deux membres par F (a?), devient
Gomme l'équation [3] doit être identique, il faut qu'elle soit satisfaite pour les valeurs x = a^x = bj. . . , , x = L Si l'on fait, par exemple, x = a, et si l'on remarque que, ¥{a) étant égal à zéro, tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui qui est divisé par (a?— a) , on a :
en désignant par ^-^ la valeur que prend le quotient
-~-9 quand on y fait a? = a. Or on a :
+ ••••+ 1. 2. ...m^^"^ ' eu remarquant que ¥(a) = 0, on en conclut :
puis, en faisant x=a, tous les .termes du second membre disparaissent, à l'exception du premier; en sorte que
et, par suite, réquation [3] devient :
/•(a) = AF'(a).; d'où Ton conclut :
Cette valeur de A n'est pas nulle; car/'(a;) = 0 n'admet pas la racine a. Elle n'est pas infinie; car F(a?)=r G n'a pas de racines égales.
On trouvera de même :
Pour déterminer les valeurs précédentes, nous avons commencé par admettre la possibilité du développement [2] et de l'équation [3], qui en est une conséquence. Il est donc nécessaire de démontrer que ces valeurs, qui évidemment sont les seules possibles, satisfont effectivement. Pour cela, remarquons qu'en les adoptant, l'équation [3] sera satisfaite pour les valeurs û, 5,.... k,l de x; or f{x) étant, par hypothèse, de degré moindre que F(a;), cette équation est de degré (m— 1) ; elle ne peut donc avoir m racines, sans être satisfaite identiquement. Ainsi ces valeurs rendent identique l'équation [3] et, par suite, le développement [2].
284. Cas des racines imaginaires inégales. D'après ce qui précède, en désignant par f{x) un polynôme de degré moindre ■' que ¥{x) , et par a, ??, c ...., /c, Ues m racines de F(a;) = 0, on a identiquement :
^^^ Fix) ~ r{a){x—o) ^ r{b){x—b) ^ • • • • ^ [,'^iycc—iy
Celte formule suppose seulement que les racines a, b, ....yk,l sont inégales. Elle s'applique au cas où quelques-unes d'entre elles seraient imaginaires. Seulement, dans ce cas, il sera convenable de faire subir au second membre quelques réductions, destinées à en faire disparaître les quantités imaginaires qui y sont en évidence
Soient a+p v/--ï , «— P vZ—ï » deux racines imaginaires ; il est facile de voir que f{ct-\-p v^— 0 et /"(« — p y/— 0 ^^ diffèrent que par le signe de y^— 1 ; en sorte que, l'une des deux expressions étantP+Qv/^, l'autre seraP—Qy/^. De môme, F'(a+pv/^) et F'(a — pv/— -l) pourront être représentés par M + Ny/^^et M — Ny/ — 1 ; en sorte que la somme des deux termes du second membre de [I], qui correspondent aux racines considérées, est de la forme :
P+Qy/^=T ^ P-Qy/^T
(M+Ny/=^)(a;-a-py/=T) (M— Ny/=^)(a;~«+Py/=^)'
ou, en réduisant au même dénominateur, et supprimant les termes qui se détruisent :
2(PM4-QN)(a; — a) + 2PNp — 2QMp (AP + N^)[(a; — a)2 + p*]
On voit donc que les deux fractions simples, qui correspondent à deux racines conjuguées, peuvent être réunies en une seule, dont le numérateur est du premier degré par rapport à ic, et dont le dénominateur est du second degré.
g II. Cas des racines égales.
285. P'oRME DE LA FRACTION DANS CE CAS. Si Jc dénominatcur de la fraction
contient des racines égales , les formules précédentes ne sont plus applicables; on peut néanmoins décomposer cette fraction en d'autres plus simples. Pour le montrer, nous établirons d'abord le théorème suivant.
Théorème. Si a désigne une racine multiple de réquation¥(x)=Oy
a son degré de multiplicité, la fraction rationnelle W^ pourra toupurs être décomposée de la manière suivante :
^ ■" F (a;) {x—ar "^ {x— a'^-'F, {xf
A désignant une constante, U (x) un polynôme entier et rationnel, Fi(x) le quotient de la division de F (x) par (x — a)*.
On a, en effet, identiquement, quel que soit A :
[21 IM =iM__= A f(x)—kY,(x)
f{x) {x—a)'^h\{x) (x—a)'^^ {x-arh\ {x)*
Si nous déterminons A par la condition
[3] /'(a)-AF,(«)=0,
le numérateur du second terme du second membre s'annulera pour x=:a, et sera, par conséquent, divisible par (x—a); en posant donc :
ce qui démontre la proposition énoncée.
Remarque. Fi{x) étant le quotient de la division de F(^) par la plus haute puissance de (x — a) qui puisse le diviser, Fi(a) ne sera jamais nul ; et l'équation [3] fournira toujours pour A une valeur finie. On peut remarquer que cette valeur ne sera jamais
nulle : car la fraction '^ étant réduite à sa plus simple expression, f{x) et F (a;) ne peuvent pas avoir de racine commune; et, par suite, le numérateur f(a) de A ne peut être égal à zéro.
f (x) Après avoir mis la fraction ^tt-t sous la forme
fl] A L AW
(x—a)'' ' {x~a)''-'Vi{xf
si Ton applique la même méthode au second terme de l'expression [1], on le mettra sous la forme
Al étant une constante qui, cette fois, peut être nulle, et f^{x) une fonction entière.
On pourra de même décomposer , M^]r. , , en une somme
de la forme
L J {x—aY-^'^{x — ay-'f, {x) »
et, en continuant ainsi, on voit que la fraction proposée ^^ peut être mise sous la forme :
r4l /(^)^ A A, i Aa-l i4M.
J F(a;) {x—aY^{x-aY-^'^*"'^{x—ay^,{xy
A, Al, .. . Aa i étant des constantes finies et déterminées, dont la première n'est p^s nulle.
On peut remarquer que le degré de /"(a;) étant supposé inférieur à celui de FCt), celui de /"«(a;), est inférieur à celui de ^x{x) ; car, en multipliant la formule [4] par F (a?), on a identiquement :
^h] f{x) = k¥,x+ki{x—a)f,{x) + , . . +An-i(a;— a)«-*Fi(a;)
or f{x) est au plus du degré (m— 1); il doit donc en être de même de (x—a)%(x) : donc fa.{x) est au plus du degré (m — a— 1), tandis que Fi {x) est du degré (m— a). De plus, il n'existe aucun facteur commun entre f^{x) etFi(a;); car ce facteur, divisant fj^x) et Fi {x), diviserait f{x), d'après [5], et serait ainsi commun
à f{x) et à F (a;). Il résulte de là, que la fraction §-p; se présente
dans les mêmes conditions que î^.
Soient maintenant b une seconde racine de F(aj)=0, et p son degré de multiplicité; en sorte que l'on ait :
f (x) on peut appliquer la méthode précédente à la fraction —H^ ; et
l'on obtiendra une expression de la forme :
Fi{x)~ {x—b^n {^-^b'/-'^' * • '^ix-'b)'^¥^{xf
B, B,,. .. Bp i étant des constantes déterminées, dont la première n'est pas nulle, et f^^Çx) étant une fonction entière de degré moindre que celui de F2 (x), et qui n'a aucun facteur commun avec F2 (x). Il résulte de là qu'en général, si on suppose :
¥(x)={x—aY{x—b)K,.{x—cy,
f (x) la fraction '=^ pourra être décomposée de la manière suivante :
¥{x} {x — cij" ' (x — ay-^ ' ' X — a
^ {x — by^ {x—b]'^-' ^ ^x — b
^(x—cy^{x—cy-' ^ " ^x—c
A, Al,... B, Bi,. . . C, Cl,... étant des constantes, parmi lesquelles A, B, . . . C, ne sont pas nuls.
La méthode précédente, en prouvant la possibilité de celte décomposition, donne en même temps le moyen de l'effectuer.
286. La décomposition n'est possible que d'une seule manière. Nous allons maintenant prouver, qu'une fraction rationnelle ne peut être mise que d'une seule manière, sous la forme indiquée dans le paragraphe précédent.
Supposons, en effet, que Ton ait trouvé deux développements d'une même fiaction ralionnelle :
A Al ^A,.i , B Bi
{x—af'^{x-a)''-'~^''''^x--a~^{x--b)^'^{x—by~''^''''^^^^'
et
— A— 4-— Ai__. , AV., , B' . , ,,,. ^
ils sont égaux, quel que soit x. MuUiplions-les par (ar— a)«, et faisons ensuite a?=a; le premier se réduit à A; le second s'annulerait si aucun de ses dénominateurs ne contenait le facteur x—a. Il faut donc que les puissances de (x—a) forment les dénominateurs de quelques fractions. Soit, par exemple, «'=«; je dis qu'alors on doit avoir a' = a, A' = A. Supposons en effet, s'il est possible, que l'un des deux exposants, a par exemple, soit plus grand que l'autre; tirons de l'équation qui exprime l'égalité
des deux développements, la valeur de -, r;, et réduisons
