X—~~ CL

tous les autres termes au même dénominateur; on aura un résultat de la forme :

A __ (^(x) (x — a)'' '{x—a)''-^^'xy

ou A=.(a;-«)i|,

9 et I désignant des polynômes dont le second n'est pas divisible par (x—a). D'ailleurs A est une constante ; il ffiut donc qu'elle soit nulle; car l'équation précédente donne A = 0 pour x=a. Donc o=a'.

Je dis maintenant que A = A' ; en effet, en égalant les dévelop-

pements, et en faisant passer le terme -, r^ dans le premier

yX ~~ Ci)

membre, on pourra recommencer le raisonnement précédent, et prouver que (A — A') doit être égal à zéro.

Les termes qui renferment les plus hautes puissances (x — a) dans les deux développements étant égaux entre eux, on pourra les supprimer de part et d'autre, et les restes seront égaux. Il faudra, par conséquent, que les termes qui, dans ces restes, con-

tiennent les plus hautes puissances de (x — a), soient aussi égaux entre eux; et» en continuant ainsi, on prouvera que les fractions simples qui composent les deux développements, et, par suite, enfm, les parties entières E(a;),E'(ic), sont égales chacune à chacune.

287. MÉTHODE POUR LE CALCUL DES COEFFICIENTS. POUT effectuer la décomposition d'une fraction rationnelle, on peut employer un procédé beaucoup plus simple que celui qui résulte de la méthode indiquée plus haut (28o).

Soient ^i^ la fraction proposée, et {x — a)"* un facteur multiple de son dénominateur ; en sorte que Ton a :

¥{x) {x^ayFiixy

Pour trouver, par une seule opération, les fractions simples qui ont pour dénominateurs les diverses puissances de (a?— a), on posera :

(a;~a)'*Fi {x)~ h'^FiÇa+hy

Ordoimant ensuite les deux polynômes f{a-{-h) et F, (a+h) suivant les puissances croissantes de h^ on aura :

F(a-t-/i)~(B+13o/i+B2/i*H-.. . -hBp/i?j/i"'

Si l'on effectue actuellement la division du numérateur parle premier facteur du dénominateur, en ordonnant le quotient suivant les puissances croissantes de hj on obtiendra des restes successifs dout les degrés croîtront sans cesse. Le premier terme de l'un des restes finira donc par être de degré égal ou supérieur à n. On arrêtera alors l'opération : le quotient sera de degré (n — 1); el Ton aura:

A4-A,A-|-A,/^^ + ...4-AJr

'^B + Bi/^4-. .-|-B,/iP' AiG sp. B. 20

OU, en divisant les deux membres par /i% remarquant que tous les termes de <^{h) contiennent h à mie puissance au moins égale à n, el posant :

il vient :

/i^'(li -f- BVi -[-...+ b/i^) ~ h- "^ /î/'-i + • • • + /^

Si Ton remplace /t par la valeur (x — a), le premier membre de cette équation devient, précisément, la fraction proposée ; le second se compose de la somme des fractions simples

qui ont pour dénominateurs les puissances {x — a), et d'une fraction rationnelle dont le dénominateur ne contient plus de facteur (x — a). On traitera cette fraction de la même manière que la proposée, pour en déduire les fractions simples relatives aux autres racines, et qui complètent le développement.

288. Cas des racines imaginaires égales. La méthode que nous venons d'exposer ne suppose nullement que les racines multiples de Téquation proposée soient réelles. On doit remarquer seulement que, si elles étaient imaginaires, on pourrait, dans le résultat, grouper les termes deux par deux, de manière à faire disparaître les imaginaires ; mais il sera plus simple d'adopter, dans ce cas, une forme de développement, dont la possibilité résulte du théorème suivant.

f(x) Théorème. Si le dénominateur d'une fraction rationnelle -—?

adinet n fois une racine imaginaire (a-f-pv' — 0 ^l ^^ conjuguée (a — fy — l), en sorle que l'on ait :

ou pourra toujours poser

rn rW, P^ + Q , AW

V etQ étant des constantes^ et h (x) un polynôme réel.

RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS LMPORTANTES. 307 On a, en effet, identiquement, quels que soient P et Q :

.9. fjx) m Vx + Q f(x)-{[>x-^Q%(x)

Or, on peut, évidemment, déterminer P et Q, de manière que le numérateur de la deuxième partie du second membre s'annule pour les hypothèses :

X = (x-{-p \/ — 1 , iC = a — p v^ — 1 ,

et soit, par conséquent, divisible par (a? — a)' -\- p*. Si l'on suppose, en effet,

/•(a dz p v/^=n:) = M dz N v/^ Fi (a ± 3 v/^) = M'± N V— 1 »

la condition demandée équivaudra à

(M di N v^=^) — [P (a zh p s/^^) + 0] (M'ih NV^=^) = 0 :

et, en égalant séparément à zéro le coefficient de >J— 1 et Tensemble des termes réels, on obtiendra deux équations qui fourniront, pour P et Q, des valeurs réelles.

Le numérateur f{x) — {^x-\-Q)Y^{x) étant divisible par {x — oLf + p% on peut le représenter par [(^— a)2-j-p2]|i(a;), et Téqualion [2] devient alors :

r^i rW, P^ + Q , hjx)

^""^ ¥{x) [{X - a)2+ ^-'Y "^ [{X — ay -f- p-'r-% {xy

Si Ton applique le même procédé de décomposition à la frac- ^'QP [(a; -, a)^l S^]»-^Fi (xV ^" ^^ "^^"^'^ ^^^^ ^^ ^^™^ Pi^+0, , r,(x)

[a;a)^-i-PJ"-^ ' [(^x-o^r+f>''r-'h\{xy

et, en coiiliiiuant de la même manière, on verra que la fraction

f ix)

p— peut se décomposer de la manière suivante :

f{x) Prg + Q , P,a^4-Qi .

fn-i{oo) étant de degré moindre que Fi (a?), et n'ayant aucun facteur commun avec lui.

En rapprochant ce résultat de celui qui a été obtenu (28o), on obtient le théorème suivant :

289. Théorème. Si Von décompose le polynôme F (a?) en facteurs réels du premier et du second degré, en sorte que Von ait :

f{x)=^{x — aY{x—h)K.,.{x'+px-{-qf.,..(x'' + rx-\-sY,

on pourra décomposer la fraction rationnelle ■—— de la manière suivante : ■

JLW— p/^N I A Al A«,t *

"*" (x-by'^{x — by-' +••••+ {X — b)

Vx + Q Pia; + Q. . . Pn-irr + Q.-i

•" {x^ + px + qf ' [X- + px + qf-^ "T- • • • i- ^^2 ^.^-,^. | ^^^

' (a?'^-|-ra? + 5)"' ' ' x'^-\-rx-\-s^

E (a;) désignant une partie entière qui peut être nulle, et A, Ai.... Aa-i, B, Bi.... Bf i, P, Q, des constantes réelles.

Le procédé, qui nous a servi à prouver la possibilité de la décomposition donne aussi le moyen de l'effectuer: et l'on pourra l'appliquer, pour former les termes qui correspondent aux fac- Icuisdu second degré : x^-{-px-\-qt x^-\-rx-\-s..,.

On pourrait démontrer, comme nous l'avons fait (286), que la décomposition en fractions de la forme indiquée précédcm-

mont n'est jamais possible que d'une seule manière et déduire do là un moyen de trouver, par la méthode des coefficients indéterminés, les fractions qui répondent à une racine donnée. Mais nous supprimons ces détails, qui ne présentent ni difficulté ni intérêt.

RÉSUMÉ

282. But de ce chapitre. — 285. Cas où le dénominateur de la fraction à décomposer n'a pas de racines égales. — 284. Transformation du résultat dans le cas où il y a des racines imaginaires. — 28.'>. Cas des racines égales. -- 286. La décomposition sous la forme précédente n'est possible que d'une seule manière. — 287. Méthode pour calculer les coefficients. — 288. Cas des racines imaginaires égales. — 289. Théorème général qui résulte de la théorie exposée dans ce chapitre.

EXERCICES

L Si f{x)=0 est une équation de degré n, et a, b, x..., k, l ses racines, on a, pour toute valeur de p plus petite que {n — 1) :

On s'appuie sur la décomposition, en fractions simples^ de la fraction — •.

a-=^+lla; + 3J

a' — x^^^aa-

-X) ' 3a{x^-j-ax+a'y

'ix

x{x-\)ix-^ + l)

-xf h—x'

S + Ga;— 2a;2

i±£±^li'— 1 1I±1^£« . 1 8 + 15a; <1— a; + 5a;^}^ 25 * {i — x -{- bx')''^ 2b ' i—x-]-bx^'

1+^' mi-hxs/i + x^ ]-x^2+x^y

^H^ 70 — 114a;+143a;^ + lQ7ac^ + 46a;<+8a;

0+x){\+xy