SUR LES EXPRESSIOXS IMAGINAIRES

§ I, Calcul des expressions imaginaires.

290. But de l'introduction des expressions imaginaires DANS le calcul. La résolution des équations du second degré conduit, dans certains c^s, à des expressions qui n'ont aucune valeur numérique, et qui renferment l'indication d'opérations impossibles à elYectuer. C'est dans un but de généralisation, que l'on a été conduit à employer ces expressions imaginaires. Nous avons vu, par exemple, qu'en les adoptant, on a l'avantage de pouvoir énoncer, sans restriction , des théorèmes tels que les suivants :

Toute équation du second degré a deux racines.

Dans toute équation du second degré, de la forme x*-\-px -f g = G, la somme des racines est égale au coefficient du second terme, pris en signe contraire ; et leur produit est égal au terme tout connu.

Ces avantages, qui dans le cas que nous citons, sont à peu près insignifiants deviennent très-importants dans la théorie générale des équations.

Les expressions imaginaires peuvent aussi être introduites utilement dans la solution de quelques questions, comme nous le montrerons dans ce chapitre.

291. Définitions et conventions. On donne le nom d'expression imaginaire à une expression de la forme a + y/ — K — K désignant un nombre négatif, y/— K n'est pas un nombre, en ce sens qu'il ne peut servir de mesure à aucune grandeur; mais il peut figurer utilement dans les calculs , d'après cette condition que son carré soit toujours remplacé par — K. Si l'on applique, en outre, aux nombras imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour les nombres réels, les opérations relalives à ces nombres seront- suffisamment définies, et fourniront toujours, comme on le verra, des résultats de même forme qu'eux.

292. Type de l'expression imaginaire. — K, étant négatif, peut être représenté par un carré pris en signe contraire, — b* ; le lype d'une expression imaginaire devient alorsa + y'— 6S que l'on écrit souvent :

Remarque. On substitue à y/— t' l'expression b sj— 1, en vertu de la convention faite plus haut : appliquer aux nombres imaginaires toutes les règles démontrées généralement pour des nombres réels. En effet, — 6* peut être considéré comme le produit 6*X(— 1): et, en vertu d'une règle démontrée généralement pour les nombres réels, on peut faire sortir le facteur b^ du radical.

295. Expressions imaginaires conjuguées. Quels que soient les nombres réels a et b, l'expression imaginaire, {a-\-b y/ — \), est la racine d'une équation du second degré,

{x — ay + b^ = 0.

La seconde racine de cette équation est, comme on le voit facilemenl, a — b \J — 1 .

Les deux racines (a + bsj — l) et (a — 6 y/— l) se nomment des expressions imaginaires conjuguées : leur somme est réelle et égale à 2a et leur produit égal à (a* + 6').

294. Puissances de yj — 1. Dans les calculs que Ton effectue sur les expressions de la forme {a-\-b y/^^), on applique (291) à ces expressions toutes les règles du calcul algébrique, en opérant comme si y/ — 1 était un nombre. Quelques géomètres représentent ce symbole par une lettre i ; et, dans les résultais, ils remplacent i* par — 1 : les puissances successives de i ou y/ — 1 se trouvent par là déterminées : car on a :

et ainsi de suite. On a, en général, n désignant un nombre entier :

(v/^^)^"+^ = î*" Xi* = i* = — V^^.

Toutes ces conventions sont nécessaires, si Ton veut pouvoir appliquer aux calculs faits sur les expressions imaginaires, les règles générales relatives aux nombres réels. Elles permettent (le démontrer le théorème suivant, qui est fort important.

295. Produit des expressions imaginaires. Théorème. Si Von considère un nombre quelconque d'expressions imaginaires j

(fli + 6iv^^=n:), (a,+6,V^"=T), (a,+&sv/^)7---(««+&nV/^),

que Von effectue leur produit d'après les règles de la multiplication algébrique, en remplaçant les puissances de sj — 1 par les valeurs indiquées plus haut ; quel que soit Vordre dans lequel on opère, le résultat sera identiquement le même, c'est-à-dire que Von obtiendra la même partie réelle et le même coefficient réel pour v/--î •

Si nous remplaçons, en effet, v — 1 par i, on sait que le résultat sera identiquement le même, quel que soit Tordre que l'on adopte pour les multiplications successives; et que les coefficients des mêmes puissances de i auront, dans tous les cas, les mêmes valeurs. Si donc, dans les polynômes identiques, on remplace les puissances de i par les valeurs indiquées plus haut, savoir : i*" par 1, i*"+* par \/— 1, i*"^' par — I, i*"+' par — v/—^» les résultats ne sauraient être différents; or il est tout à fait indifférent de remplacer, à la fin du calcul, chaque puissance de i par sa valeur, ou de faire successivement les substitutions après chaque opération partielle : car ces substitutions se réduisent toutes à remplacer le produit de deux facteurs égaux à i par le facteur — 1 ; et peu importe qu'on le fasse en une fois ou sucessivement.

21)6. Application. Nous donnerons immédiatement une application du tiiéorème précédent.

Considérons le produit :

si on multiplie les deux premiers facteurs, on trouve :

{a+bs/^^) {c + d^^)=:={ac—bd)+{ad+bc) y/"^; • et, en multipliant les deux derniers, on trouve :

{a—b y/^^){c—d\/'^) = {aç — bd)'-{ad+bc) y/^î en sorte que l'on â :

P=: \{ac—bd) + {ad-i-bc) y/irT][(ac— M)— (aci+^)c)v/^, ou, en effectuant :

V = {ac — bdy + {ad + bcy.

D'un autre côté, en multipliant le premier facteur par le troisième, et le second par le quatrième, on a :

(c+ds/'^^l){c—d )/^^c'+d'';

donc: ^=z(a'+b'){c' + d^);

ce qui donne la formule : -

{a' + b') {c^ + d') = {ac—bdy + {ad + bc)\

laquelle est, du reste, extrêmement facile à vérifier.

g II. Introduction des lignes trigonométriques dans les expressions imaginaires.

297. Forme nouvelle de l'expression imaginaire. Les expressions imaginaires peuvent se mettre sous une forme particulière, qui simplifie souvent les calculs auxquels on doit les soumettre.

Soit l'expression a-{-b \J— 1 ;

si l'on pose :

[1] a=pcos©, 6 = psin<p, [2]

on pourra, quels que soient a et 5, trouver pour p une valeur positive, et pour cp une valeur moindre que 27c, qui satisfassent à ces deux équations; il suffira de prendre :

[3] ^^ = a' + h\ tango=^. [4]

Les équations [3] et [4] se déduisent, en effet, des équations [1] et [2], en ajoutant leurs carrés, et en les divisant membre à membre.

Réciproquement, si p et cpont les valeurs indiquées par les équations [3] et [4], on aura :

COS(p= ^ — -— , = !t

div/1 + lang»? -t,/, , dzv/^^ + a^

sm 9 =:

tans©

diN/l + tang^? ^. A , ^' iy/è^ + a^

ef, en remplaçant y/ t^^+a^ par p,

cosç=^, sin9=^p;

c'est— dire a ~ dz p cos ©, 6 = zb p sin cp ;

ce qui coïncidera avec les équations [1] et [2], si l'on a soin de prendre pour cp celui des deux angles qui, ayant pour tangente

-, a son sinus de même signe que p. •

D'après ce qui précède, une expression imaginaire {a-\-b\j — l) peut toujours se mettre sous la forme

et ne peut évidemment s*y mettre que d'une seule manière, (p devant être positif et o moindre que 2?:).

P se nomme le module et 9 Vargument de- cette expression imaginaire. Nous allons voir qu'il y a un avantage de simplicité à mettre les expressions imaginaires sous cette forme.

298. Multiplication des expressions imaginaires. Soit à mutiplier les deux expressions :

p (cos cp + v^--^ sin <p) , p' (cos <î>' + y/^ sin 9') .

En effectuant le produit, et en remplaçant seulement le carré de v/--î par — 1, on trouve :

pp' [cos (p cos cp' — sin 9 sin cp' -f y/^^ (cos 9 sin 9' + sin 9 cos 9')]

= pp' [cos (9+9') + v/^ sin (9 + 9')].

Par conséquent, pour multiplier, Vune par Vautre^ deux expressions imaginaires, il faut multiplier les modules et ajouter 'les arguments.

La règle précédente permet évidemment de faire le produit d'un nombre quelconque d'expressions imaginaires.

299. Division des expressions imaginaires. Pour diviser, l'une par l'autre, des expressions imaginaires, il suffit de diviser les modules et de retrancher les arguments. On a :

p(cos«D -f-v/— l sin 9 p.. , „ , / — - . , ,^T

^ i-; ^ — . — - = 5 [cos (9 - 9') + v/— 1 sm (9 — 9')] .

p(cos9' + v — 1 sm 9' P

En effet, celte égalité devient évidente, si l'on chasse le dénominateur, et que Ton effectue la mulliplication du second membre, d'après la règle donnée précédemment.

500. Puissances d'une expression imaginaire : cas où m est ENTIER ET POSITIF. Si Vou supposc quc Ics cxprcssious à multiplier deviennent toutes égales entre elles, les théorèmes précédents prouvent que :

La puissance entière d'une expression imaginaire a pour module

la / uissance correspondante du modulej et pour argument le produit de V argument par Vindice de la puissance. Ainsi l'on a :

Cette formule, due à Moivre, très-importante en analyse, s'étend, comnie nous allons le faire voir, au cas où m désigne un nombre fractionnaire ou négatif.