Cas où m est Fractionnaire. Supposons d'abord (]uc?îi

Y soit remplacé par—,, m' étant entier, il s'agit de montrer que

l'on a :

JL J.

[2] [ p (cos ? + V - 1 Sin (?)]"' = p"' (cos ^,+ \^-

Sl!l -h

Pour vérifier cette égalité, élevons les deux membres à la puissance m' : le premier donnera, évidemment, pour résultat, P (cos + <p v^ — 1 sin <p); et la règle, donnée -pour les puissances entières, montre qu'il en est de même du second.

Remarque. Cos * et sin ç étant donnés, cos •2- et sin ~, ne ^ ^ ^ in m

sont pas complètement déterminés; ils restent susceptibles

de plusieurs valeurs distinctes. Il en résulte aussi des valeurs

distinctes pour l'expression

[ p (cos cp + v/— 1 sin <p)]"''>

ce qui est conforme aux piiucipes indiqués dans la théorie des équations.

Si nous considérons maintenant le cas, où l'exposant m est

remplacé par une fraction —, il faut prouver que :

[3] Ip(cosc?+v/— lsm?)J=p ^cos-^ + v/-lsiii-^j.

En effet, élever une expression à la puissance —, c'est, pardé-

linilion, en prendre la racine 7i"'% puis élever le résultat à la puissance ??r^ Or, les formules [1] et [2] permettent de faire

successivement ces deux opérations ; et l'on est ainsi conduit à la formule [3].

502. Cas où m est négatif. Supposons enfin que m ait une valeur négative — m' ; il faut prouver que l'on a :

[p(cos9 + v^~ sincp)]-""=p-'"' [cos (— m'cp) + y/^ sin(--m'(p)].

Pour cela, remarquons que, par définition :

[ p (cos 9 + v/^ sin <p)]-""

[p (cos9+v/~-ï sintp)]"*' p"*'(cosm'çp+v/^^slnm'<p)

puisque m' est positif (500) ; mais on a ;

1 cos 0 4- y/^ sin 0

f' (cos m '«p-f y/— 1 sin m'cp)] p"*' (cos m'cp + y/ — 1 sin m' cp)

= p-*»' [cos (— m'<p) + v/ — 1 sin (— w'(p)] : ce qu'il fallait démontrer.

§ m. Applications.*

Nous indiquerons quelques applications des formules précédentes.