Théorème. Tout trinôme de la forme x* + px* + q est dé

composable en deux facteurs réels du second degré.

Posons x^=z, Nons distinguerons deux cas :

1*» Supposons que l'équation du second degré,

z^+pz + q = 0,

ait deux racines réelles a et p; on aura :

, z^^pz+q = (z^<x){z-p}; et, par suite :

x'' + px^ + q= {x^— a) (o;'— P).

RÉSOLUTION DE QUELQUES QUESTIONS IMPORTANTES. 319 2° Supposons que l'équation du second degré,

Tiit deux racines imaginaires, a -f ji y^— l, a — p y/^ ; on aura :

et, par suite :

ce qui peut s'écrire :

a^+px'' + q = [x— Va + Pv/-0(^+Va4-Pv/— l)'

^ x(a;-v/«-P\/-0(^+Va--Pv/-l)- Puis, en posant :

a-\-^ sJ^^X = p (cos <p + \/^ sin ç) ,

a — P y/--^ — f (COS^— v/^^ Sin<p),

et, par suite (292),

V^TflTT^ = y/p (cos I + v^=^ sin 0 ,

y/a-p v/^=l = V/P (cOs|-N/=n sin l),

il vient :

==[^-v/p~(cos|+v/=^sin?yj|^a; + v/^(cos| + v/=^l sin|) j X [a;- v/F(cos|- v/=^ sin^yj [a;+ v/7(cos |- s/~l sin |) J

ou, en réunissant le premier et le troisième facteur, et le second et le quatrième, qui, évidemment, sont conjugués :

x^-\-px^-^q = [(a; -v/Fcos|y+psin«|] [(a^+y/^cosiy + p sin'|J;

et le trinôme est ainsi décomposé en deux facteurs réels du second degré.

304. Problème. Exprimer cos m<p et sin mcp en fonclion de cos cp et de sin 9.

On a:

(cos 9 + v/ — 1 sin cp)"» = cos r?7(p+ y/IIT ^jn mw

en développant le premier membre par la formule du binôme, et en égalant le résultat au second membre, c'est-à-dire, en écrivant que les parties réelles sont égales, ainsi que les parties imaginaires, on a :

m(m' — 1) cos wcp = cos^cp 12 cos"-«9 sm^cp

, m(m— l)(m— 2)(m-3) ^ . • , , + r2X4 ^COS-*cpsin*cp-|- ...,

sinm(p=mcos^*cpsin<p— ^^^"-^K^— 2) cQs'»+^ysin^(p + . .. .